Можно ли доказать теорему классической геометрии, опираясь на закон сохранения энергии? Оказывается, можно.
Вот есть такая теорема в геометрии Евклида или, если угодно, в тригонометрии: теорема синусов. Она утверждает, что в произвольном треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла для всех сторон одно и то же. Давайте ее быстренько докажем.
На основе закона сохранения энергии.
Которого в геометрии вообще нет, потому что нет понятия энергии.
Итак. Сколотим из досок треугольник, разместим его так, чтобы одна сторона была параллельна земле. Накинем на него тяжелую цепочку, замкнутую в кольцо. Тяжелая цепочка нужна для того, чтобы игнорировать трение. Получится что-то вот такое:
Цепочка должна быть в равновесии, потому что иначе это будет вечное движение: форма цепочки не изменится при движении, а значит, движение будет вечным.
Нижняя часть (это цепная линия, о которой в другой раз) симметрична и ни нарушить, ни восстановить равновесие не способна. Поэтому в равновесии должна быть верхняя часть цепи: куски, лежащие на сторонах.
У них разные длины и потому разные массы. Вес же пропорционален не только массе (длине), но и синусу угла при стороне, так как роль играет только проекция веса на вертикаль. Получается
a sin(α) = b sib(β)
А это и есть теорема синусов.
Красиво?
Подсмотрено у Литтлвуда.
Вот еще пример того же рода. Изготовим треугольник из проволоки, поместим в вершины одинаковые грузики единичной массы. Сделаем проволочную медиану из одной вершины. Треугольник в равновесии относительно этой проволочки: ведь один грузик на ней, а два других равны и на равном расстоянии от нее.
Поэтому можно заменить эти два грузика на один, в середине стороны, удвоенной массы. Равновесие сохранится.
Теперь найдем центр тяжести треугольника. Он лежит на медиане, раз она ось симметрии масс, и делит ее в том же отношении, в каком находятся грузики на концах: 2:1.
Но центр тяжести треугольника один и тот же, через какую медиану мы его не искали бы. Поэтому все три медианы пересекаются в одной точке. И вы знаете, в какой.
Ну а как доказать теорему Пифагора через анализ размерностей, я уже рассказывал.
Можно еще доказать, что круг имеет максимальную площадь при данном периметре. Представим себе область, заполненную жидкостью, оказывающую давление на стенку. Область, очевидно,выпуклая, так как невыпуклые участки можно "спрямить", выиграв И в площади, И в длине периметра. Сила, действующая на фрагмент стенки, зависит от направления соседних фрагментов, и в равновесии все фрагменты расположены одинаково относительно друг друга. Из многоугольников, таким образом, оптимален правильный, а из правильных - тот, в котором больше сторон. Оптимальная фигура получается как предел правильных многоугольников, в которой каждая точка (предел фрагмента границы) лежит на одном и том же расстоянии от центра симметрии. Всё. Подробнее разберем эту задачу в другой раз, а пока хватит и намека для полноты.