Есть такое изречение, что нет ничего в природе, в чем бы не было какого-нибудь максимума или минимума. Это больше относится к вариационным методам, из которых внезапно выводится чуть ли не вся физика, но есть и частные толкования. Вот например.
Есть башня, высоты H и диаметром D, пусть круглая в сечении. Есть ракета, той же высоты (если стоит) и намного меньшего диаметра. Какой высоты надо делать дверь, чтобы ракету можно было ввести в башню?
Ну вот при чем здесь поиск максимума или минимума? Казалось бы. Однако дверь можно проделать на всю высоту башни, но такой ответ нас не устраивает. Хотя он, безусловно, верен.
Надо уточнить вопрос: какой минимальной высоты должна быть дверь.
Ракету занесем горизонтально, пока не упрется в стену, и будем поднимать передний конец по стене, занося корму по земле. Ракета все время образует гипотенузу прямоугольного треугольника, а катетом является расстояние x от носа до земли и от кормы до дальней стены. См. рисунок.
Отрезок АВ будет сначала удлиняться, потом укорачиваться, и это и есть подъем ракеты в дверном проеме. Нам нужен максимум этого подъема. Он и равен минимальной высоте двери.
Давайте запишем, что мы знаем. Мы знаем длину гипотенузы H. Мы обозначили переменную высоту подъема ракеты через x. И можем выразить угол α между ракетой и землей: sinα=x/H.
Второй катет теперь тоже можно выразить: это Hcosα. Отрезок OA, который можно назвать "сколько еще осталось занести", равен
OA = Hcos(α) - D.
Ну а теперь мы знаем отрезок AB: это OAtgα. Подставим всё и получим:
f(α) = AB = OAtgα = (Hcos(α) - D)tgα = Hsinα - Dtgα.
Нам надо найти максимум этой функции и вот теперь нам понадобится немного высшей математики. В точке максимума производная обращается в нуль. Поэтому максимум надо искать среди нулей производной. Если нуль один, это он и есть.
Производная синуса равна косинусу, а у тангенса это 1/cos²α. Получаем условие
Hcosα - D/cos²α = 0.
Нулю косинус точно не равен, так это означало бы 90 градусов: ракета уже в башне и вопрос снят. Приходим к значению
cos³α = D/H.
И поскольку оно одно, то это и есть максимум.
Впрочем, решений может вообще не быть, если D>H. Но тогда и проблемы нет, потому что это не башня, а ангар, куда ракету можно внести горизонтально и потом поставить как надо. Если же речь о башне, то есть D<H, то решение в диапазон от 0 до 90 градусов только одно.
Нам надо бы выразить f(α) при этом оптимальном угле. "Оптимальный" он не потому, что самый лучший, напротив: это угол, при котором подъем в дверном проеме максимальный, то есть его бы надо поменьше. Но формула получается довольно сложной. Давайте численно посчитаем и посмотрим на характер зависимости.
А что, если мы можем опускать корму ракеты, которая по земле волочется, ниже уровня земли? Армейский способ)
Ну, смотрим на третий рисунок. Там нарисована высота подъема как функция отрезка AO, то есть расстояния от дверей до кормы ракеты: сколько ещё осталось занести. У нас есть
f(α) = Hsinα - Dtgα, OA = Hcos(α) - D,
так что
f(α) = Hsinα - Dtgα, α = arccos((OA + D)/H).
Очень полезно углубить тропинку немного именно там, где быстрый рост начинает замедляться.
Не благодарите)