Сегодня речь пойдет про обобщенные функции, или "распределения". Они пригождаются, когда не хватает понятия обычной функции. Дело в том, что часто функции --- скалярные поля --- имеют предельную, дифференциальную природу. Такова мгновенная скорость, определенная в каждой точке как предел средней скорости по интервалу времени, когда этот интервал стягивается в точку; такова плотность, определенная в каждой точке как предел отношение массы некоторой области к ее объему, когда область все меньше и меньше; таков импульс силы при ударе, когда мы берем отношение импульса, переданного от тела к телу за короткое время dt к этому времени, в пределе при dt стремящемся к нулю.
А такая функция (производная или плотность той или иной величины, в зависимости от контекста) не всегда определена и не всегда "хороша". Классический пример: материальная точка, точка с массой. Берем любую область пространства; если точка в нее не входит, масса области нуль; если входит, масса области равна единице. Берем область вокруг точки все меньше, получаем нонсенс: функция равна нулю везде, кроме одной точки, в которой она бесконечна; но интеграл по всему пространству внезапно равен единице. Ни в каком разумном смысле такой "плотности" не бывает.
Это дельта-функция Дирака. Но будь только она, можно было бы выкрутиться, но ведь она не одна такая...
Дельты возникают на каждом шагу. Плотность точки, раз. Вероятность, сосредоточенная в точке --- два. Температура на улице --- непрерывная случайная величина, можно говорить о плотности ее вероятности. А вот кубик игральный --- там шесть вариантов, и все: плотность вероятности какая? Сумма шести дельт.
Еще раз: будь одни только дельты, мы бы выкрутились, рассматривая отдельно непрерывные и дискретные случаи, хотя это не всегда удобно.
Ударные импульсы, впрыски, мгновенные воздействия. Это тоже дельты.
А в пространстве вариантов сразу больше: потенциал слоя (масса на поверхности) и другие выверты той же сути.
Как же корректно математически определить такое? Логично, что раз "это" потом будет под интегралом, через интеграл и определим. Возьмем класс очень хороших функций: бесконечно дифференцируемых и либо быстро убывающих на бесконечности, либо просто равных нулю вне некоторого компактного множества (отрезка, шара). Обобщенной функций назовем линейный непрерывный функционал на таких функциях: правило, которое сопоставляет данной "хорошей" функции число, причем сумме функций соответствует сумма чисел, множитель можно вынести, и предел значений на последовательности функций равен значению на предельной функции.
Надо уточнить, как сходятся последовательности "хороших" функций, но это делается --- не будем на этом останавливаться
Для "обычной" функции f(x), пусть разрывной и т.п., лишь бы только интеграл существовал, такой функционал можно задать как интеграл ∫f(x)φ(x)dx, интеграл по всему пространству (всей прямой). Он сходится (если интеграл от f сходится), потому что функции φ на бесконечности быстро убывают (в этом случае надо, чтобы f росли не слишком шустро) либо вообще равны нулю.
Причем разным функциям соответствуют разные функционалы, так что функционалов не меньше, чем функций. Но их на самом деле больше: есть функционалы, которые никаким интегралом не задаются. Например, φ(0). Или φ'(0).
Если обобщенную функцию обозначить символом g(x), то функционал можно записать в удобной форме ∫g(x)φ(x)dx. И можно говорить об интегралах от обобщенных функций по множествам. Функцию φ(x) же можно так подобрать, чтобы она вне интересующего нас множества нулю равнялась, а на нем от единицы почти не отличалась...
Есть, конечно, проблемы, о которых не всегда говорят. Например, простенькая 1/x в обобщенные "влезает" только пинком, потому что интеграл от нее можно определить только с оговорочкой "главное значение в смысле Коши", а ее квадрат вообще в обобщенные не влезает и приходится жить без него. Так что эйфория немного ослабевает.
Кстати, φ(0) --- это дельта, δ(x). Ну, в самом деле: если φ равна нулю вне некоторого отрезка, который нуля не содержит, то функционал φ(0) равен нулю. То есть наша дельта равна нулю вне нуля. При этом "интеграл" по всему пространству не равен нулю. Если φ в окрестности нуля равна единице (вне нуля ее значения роли не играют), то и интеграл ∫δ(x)φ(x)dx по всему пространству равен единице. Дельта!
Для обобщенных функций не определено значение в точке, но равенство нулю на интервале (как и равенство двух обобщенных функций), как мы видим, можно определить: как равенство нулю на всех φ, которые равны нулю вне этого интервала.
Про дифференцирование, разложение в ряды и как это работает, я расскажу в следующий раз. Напоследок давайте обсудим сходимость.
Дело в том, что последовательность обычных функций может не иметь предела в обычном смысле, но может иметь пределом обобщенную функцию. Предел определяется очевидным образом: на каждой φ интегралы ∫f_n(x)φ(x)dx должны сходиться к значению функционала на той же φ.
Аналогично определяется и предел последовательности обобщенных функций.
Пример --- опять же дельта. "Дельта-последовательности" хорошо известны! Самая простая --- это последовательность функций, равных нулю вне интервала [-1/n,1/n] и равных константе 2n на этом интервале. Интеграл у них у всех единица, но хорошего предела последовательность не имеет. Но она сходится к дельте. В самом деле, умножая на любую φ, мы получаем интеграл от 2nφ по данному отрезку, который при больших n мало отличается от φ(0). В пределе φ(0) и будет --- дельта.
Можно взять непрерывные функции, например, кусочно линейные. См. рисунок.
Но самый красивый пример --- это семейство нормальных распределений с нулевым средним и убывающим к нулю среднеквадратичным отклонением. В пределе опять-таки дельта, хотя само нормальное распределение нулю нигде не равняется.
А что, если мы возьмем функции, равные нулю вне интервала [-1/n,1/n], и равные +n^2 на отрицательной части (левее нуля) и -n^2 на положительной части? Получится -φ'(0).
Если дельту, φ(0), можно трактовать как массу в точке, или скажем, заряд в точке --- как предел распределений заряда, сосредоточенного в малой окрестности точки, то полученную нами обобщенную функцию -φ'(0) можно трактовать как диполь --- два заряда разных знаков в одной точке.
Другая трактовка --- механическая. Дельта-импульс --- это удар, когда сила действует одно мгновение, а импульс передается. Это предел ударных воздействий, когда сила действует недолго. А -φ'(0) описывает изменение этой силы: сначала мгновенный разгон, потом столь же стремительное торможение.
И мы вплотную подошли к дифференцированию, о котором совсем скоро!