Продолжаем разбирать парадоксы, связанные с упругим ударом. Начало здесь, мы разобрали законы сохранения и поняли, почему они выполнены в любой инерциальной системе отсчета. Муха, упруго отскочившая от автобуса, вправе считать себя в покое ДО удара, но не после. Либо после, но не до. Автобус имеет большую энергию в системе отсчета мухи, но бóльшая ее часть с ним и останется. Если энергия автобуса бесконечно велика, то вся она останется с ним, а энергия мухи тоже не изменится.
Но ведь муха движется инерциально и до, и после удара. А удар имеет нулевую длительность. Почему же нельзя смотреть с позиции мухи, считая ее неподвижной, и до, и после удара?
Потому что удар всё-таки есть, как бы короток он не был. Предельный случай мгновенного удара математически описывается обобщенными функциями, и это совсем не школьный курс. Но можно всегда считать, что длительность ненулевая, а ускорения велики. Физически так и есть, потому что бесконечные ускорения при мгновенной ударе — это не очень хорошо для физики.
Ускоренная система отсчета неинерциальна. На этом можно разговор и закончить: пользуйтесь инерциальными системами, и точка. Но всё-таки!
Есть же географические координаты, очень естественные, но неинерциальные. В них можно и нужно работать, только возникают странные ускорения без действия каких-либо физических сил: кориолисовы ускорения. Объем воды и такой же объем воздуха, в тысячу раз легче, двигаясь с одной и той же скоростью на одной и той же широте, испытывают одно и то же кориолисово ускорение! Если это сила, то она тщательно замеряет массу ускоряемого объекта и действует на него ровно с той силой, с какой надо.
Прямо как гравитация!
Можно перейти в инерциальные координаты, но легче не станет. Кориолисовых ускорений не будет, но будет явное движение всех водных и воздушных масс вместе с планетой. А циклоны и антициклоны будут получаться ровно те же самые!
Кстати, какие координаты считать инерциальными — это тоже вопрос. Поместить начало отсчета в центр Земли? Тогда движение вокруг Солнца внесет неинерциальность. На Солнце? Но и оно движется по кругу в Галактике (что, конечно, куда менее заметно).
Кстати, здесь у нас эффекты вращения, а вращение, хоть и ускоренное движение, но энергию сохраняет. Поэтому центростремительное ускорение обязано действовать под прямым углом к скорости! При этом направление скорости меняется, а величина — нет, и энергия тоже постоянна. В общем же случае неинерциальных систем энергия не обязана сохраняться.
Например, спишь ты в поезде и думаешь, что в покое. А поезд вдруг резко тормозит! И стакан с чаем внезапно обретает кинетическую энергию, чтоб его так! "На самом деле", то есть в инерциальной системе, он эту энергию и так имел, и там сохранение есть, но нам-то приспичило работать в неинерциальной; а в ней стакан энергию "из ниоткуда" приобрел.
Аппарат для расчетов в неинерциальных системах отсчета, конечно, есть. но не слишком популярен. Там нет законов сохранения, за исключением особых случаев. В частных случаях, как в геофизической гидродинамике, всё делается, Кориолис учитывается — да и всё.
В общем же случае вопрос решает Общая теория относительности.
В которой тоже глобальных законов сохранения как бы нет. А локально всё сохраняется как надо.
Она уравнивает в правах, формально, все системы отсчета, инерциальные и неинерциальные. Собственно, такого деления там и нет. Чудеса неинерциальности объясняются гравитационным полем, фиктивным или реальным. Улетающий в сторону паровоза стакан ускорен гравитационным полем, которое можно строго описать через кривизну: прямых линий в пространстве-времени просто нет, как нет их на параболоиде.
Это уже было бы интересно, но ОТО делает блестящий ход, изящество которого трудно переоценить. Она описывает реальное гравитационное поле (планет, звезд, чего угодно) точно так же: как кривизну. Получается, что в присутствии поля нет инерциальных систем вообще, и работа в терминах метрики становится не вопросом прихоти или удобства, а необходимостью. То есть вблизи Солнца (скажем) у нас просто нет возможности двигаться без ускорений, по прямой линии в пространстве-времени — как нельзя двигаться по прямой на Земле. Нету прямых, и basta.
Инерциальную систему можно ввести только в бесконечно малой окрестности любой точки. Физически это свободно падающий маленький объем в течение краткого интервала времени.
Замечу в скобках, что равномерное прямолинейное движение в трехмерном пространстве описывается просто прямолинейным в четырехмерном пространстве-времени. Это просто удобно. Если путь кривой, он и в 4-мерном будет кривой, а если прямой, но скорость непостоянна, то опять-таки в пространстве-времени траектория будет кривой.
Ну и как быть мухе, если очень хочется всё-таки быть в центре системы отсчета? До удара никаких проблем: с мухой можно связать систему отсчета, муха в ней покоится, другая муха движется навстречу, равно как и стоящий на земле автобус, растущее дерево и тому подобное. Именно эти объекты позволяют сказать, кто движется "на самом деле". После удара с другой мухой той же массы наша, летящая, остановилась. В ее системе отсчета другая муха изменила скорость движения, а всё вокруг теперь неподвижно.
То есть, в результате удара всё остановилось. С этого момента есть три пути.
Первый. Можно сказать, что работать можно только в инерциальной системе отсчета. Либо до удара, либо после. Либо еще какой-то. Но удар, как и любое ускорение, инерциально не описывается по определению. Так что муха может покоиться либо до, либо после удара, но никак не то и другое. Это правильный подход, если нет необходимости рассматривать гравитацию. Да и ее часто можно феноменологически включить в задачу, если поле слабое: ньютонов подход, или он же с релятивистскими поправками.
Второй. Можно описать неинерциальные явления математически. В общем виде этого никто не делает, потому что в ОТО это проще и логичнее, но частных случаев много. Например, геофизическая гидродинамика, тот же Кориолис. Если идти этим путём, то будут чудеса. Будут странные "силы", может не сохраняться энергия и тому подобное. Обычно именно эти "парадоксы" выкатывают не слишком умные критики, протестуя против ОТО. Хотя она тут не при чём.
С точки зрения мухи будет именно такая ерунда. В её системе отсчета она покоится, другая муха движется, как и автобус, дерево и асфальт и даже Луна и звёзды. Потом удар, в результате которого она испытывает ускорение, но остается неподвижной (!), при этом другая муха поменяла скорость на противоположную, а автобус, дерево, асфальт и Луна вдруг остановились. Откуда энергия на торможение всего во Вселенной? А ниоткуда! Энергия в неинерциальной системе сохраняться не обязана. В неинерциальной системе вообще всё возможно.
Третий. Можно применить аппарат ОТО. Этого не надо делать, если есть инерциальная система отсчета, так как она удобнее. Равно как если есть неинерциальная, но удобная (как Земля для геофизики). Однако в присутствии гравитационных полей, которые надо учитывать, другого пути может и не быть. Инерциальных систем нет вообще, и вопрос только в выборе более удобной. Но формально можно и в менее удобной работать, почему нет.
Итак, в математической формулировке ОТО сначала всё как и выше. В момент удара возникает гравитационное поле. Именно оно ускоряет (тормозит) другую муху, автобус, дерево, Луну. Те ничего не ощущают, так как это свободное падение, которое и неотличимо от покоя. Другая муха ощущает удар, но это другое дело. Сама муха ощущает это поле в виде перегрузки, но скорость ее не меняется. Так и мы прямо сейчас ощущаем тяжесть, но никуда не ускоряемся. Поле исчезает, всё остаётся в покое, кроме другой мухи: остановленная ударом и ускоренная назад полем, она меняет скорость на противоположную.
Как быть с энергией? Локально энергия сохраняется! Энергия взаимодействующих тел (мух) в сумме постоянна, а поскольку одна муха в своей системе отсчета покоится, то ее энергия равна нулю, так что сохраняется энергия другой мухи. А вот энергия автобуса и прочих объектов, которые в системе мухи изменили скорость после удара, то их энергия ушла в или пришла из гравитационного поля. А энергия гравитационного поля не локализуется.
Формально для гравитации всё так же. В ОТО есть теоремы, исключающие создание вечного двигателя, так что из несохранения энергии никаких парадоксов не следует. Более того, нет и несохранения, так как нет понятия "полная энергия всего поля". Нет величины, которая может сохраняться или не сохраняться. А локально в ОТО энергия сохраняется. Проинтегрировать вот можно не всегда... Мы это всё уже обсуждали.
