Этот материал не для всех. Для студентов или тех, кто не углублялся в тонкости матана, но "не забыл, как держать в руке шпагу".
Про канторово множество я уже рассказывал. Это множество получается из отрезка после выкидывания открытых третей, то есть сначала выкидываем интервал (⅓, ⅔) , а потом с каждым из оставшихся отрезков повторяем процедуру. Если воспользоваться троичной системой счисления, то выкидываются все числа, содержащие единички (с некоторыми оговорками насчет многозначных случаев вроде 0.1=0.0222...). Это сразу позволяет понять, что осталось много, не только концы выкидываемых отрезков: достаточно заменить в оставшихся числах (они состоят из нулей и двоек) все двойки на единицы и трактовать полученное как двоичное разложение; получим взимно-однозначное отображение канторова множества на весь отрезок.
Мы выкинули всю длину и при этом точек осталось еще столько же.
А можно даже выкинуть всю длину и при этом оставшееся нигде не плотное множество будет иметь положительную меру, что уж совсем ставит в тупик. Ну вот так тоже бывает, да. Ни одного отрезка в множество не впихнуть, а длина у него есть.
Никогда не говори "никогда".
Теперь введем функцию K(x), равную на выкидываемых отрезках середине отрезка. Она определена везде, кроме канторова множества, но на него ее можно продолжить по непрерывности. Получается непрерывная функция, имющая производную почти всюду (всюду, за исключением канторова множества, у которого мера равна нулю). Эта производная равна нулю почти всюду, от нее можно взять интеграл (равный, конечно, нулю) и получилось нарушение формулы Ньютона-Лейбница.
На языке механики получается, что у процесса есть скорость, и скорость эта равна нулю почти все время. Там, где скорость не определена, обычно скачки или ударные ускорения; но в данном случае процесс непрерывен и скачков не имеет, а скорость равна нулю, так что ускорения тоже отсутствуют. При этом процесс всё-таки растет во времени, демонстрируя единичный прирост за единичное время. Средняя скорость роста равна единице, хотя почти всюду она нуль. То есть, равные нулю скачки/ускорения всё-таки смогли совокупно дать ненулевой прирост.
Тут ещё надо помнить, что канторова лестница подходит под определение функции распределения. Оно непрерывно, но не абсолютно непрерывно. У него нет плотности распределения. Оно не относится ни к (абсолютно) непрерывным, ни к дискретным. Вероятность каждого значения равна нулю, но вероятность попасть в отрезок нулю может не равняться (если в отрезок попали точки канторовского множества). Вероятность размазана по множеству без длины. Это сингулярное распределение. И можно было бы списать его в курьёзы, но в банальной орлянке с несимметричной монетой такие вылезают из ада и зловеще улыбаются.
А мы любим такое.
Теперь рассмотрим функцию G=K(x)+x. Она монотонно растет. Она отображает отрезок [0,1] (меры 1) в отрезок [0,2] (меры 2). Выкидываемые интервалы она отображает в счетное множество их середин нулевой меры. А канторово множество нулевой меры она отображает в множество меры 2, которое мы обозначим Z.
То есть непрерывное преобразование сумело множество "отдельных точек" растянуть в нечто протяженное.
Функция G монотонно растет и поэтому у нее есть обратная функция H. Тоже монотонная. Поскольку G непрерывна и отображает отрезок в отрезок, то и обратная непрерывна.
Она отображает отрезок [0,2] в отрезок [0,1], причем некоторое множество Z ненулевой меры она отображает в счетное множество нулевой меры.
Выберем во множестве Z неизмеримое подмножество Q. Оно отображается в подмножество счетного множества, которое тоже измеримо и имеет меру нуль.
Итак, функция H переводит неизмеримое множество в измеримое. То есть функция эта неизмерима.
Мы построили непрерывную неизмеримую функцию.
Правда, обычно измеримость функции определяют не так, а вот как: прообразы борелевских множеств должны быть измеримы. Борелевские множества строятся так: берут всевозможные отрезки и потом расширяют их до минимальной системы множеств, в которой можно осуществлять объединения, пересечения и дополнения множеств. Получается всё, что нужно в жизни - но не все измеримые множества.
В таком смысле непрерывная функция всегда измерима. Если же понимать измеримость в смысле "прообразы измеримых измеримы", то не обязательно.
Определение измеримости согласовано с понятием интеграла: для интегрирования нужно, чтобы прообразы отрезков были измеримы, если шире, то прообразы борелевских множеств.