Наверное, все слышали, что помимо среднего арифметического есть еще среднее геометрическое, и есть и ещё другие средние, гармоническое, например. Но мне вот в работе (и учёбе) никогда это понятие не пригождалось. Недавно я узнал, почему оно так называется.
Называется, кстати, крайне неудачно. Ведь в чём смысл и польза среднего арифметического? Если кто забыл, это сумма элементов конечного множества, деленная на их количество.
Первая польза: закон больших чисел. Если число получается как случайная величина, и мы получаем таких чисел целое множество, то, при некоторых предположениях, которые тут не будем оговаривать, среднее стремится (в определенном смысле, который не будем здесь оговаривать) к характеристике распределения случайной величины: математическому ожиданию.
То есть если рулетка выдает равновероятно свои сектора с номерами от 0 до 36, и теоретическое значение равно -¹/₃₇, то среднее арифметическое ваших выигрышей и проигрышей (то есть ваш проигрыш по итогу года, деленный на количество партий) будет очень близко к -¹/₃₇. Инами словами, очень точно можно сказать, что за 37 тысяч партий ты проиграешь около тысячи ставок. Может, немного больше или меньше, но на 500 рассчитывать не стоит даде при большом везении.
Вторая польза - это сам принцип "взять всё и поделить". Среднее арифметическое - это и есть "сложить всё в кучу и разделить поровну". Мысленно, конечно. Иногда этот принцип уводит в тупик, но если речь идёт о разделе какого-то ресурса, то среднее показывает меру этого ресурса. А медиана, скажем, показывает такое значение, что число элементов меньше него равно числу элементов больше него. В итоге, если медиана существенно меньше среднего, то можно делать определенные выводы.
У среднего геометрического такой интерпретации нет. Для двух чисел это корень квадратный из произведения. Это сторона квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника с указанными сторонами.
Еще это высота перпендикуляра AB, опущенного с точки окружности на диаметр CD, выраженная через части CB и BD, на которые перпендикуляр делит диаметр. См. рисунок. Отсюда, как мне кажется, и название.
Хотя это не точно. В некоторых языках сохранилась традиция называть геометрией вообще математику, а арифметика шла отдельно. Как сейчас делят математику на элементарную и высшую (тоже не очень лепо). Потом к арифметике и геометрии добавили ещё анализ (его-то почему так назвали???) как всю теорию бесконечно-малых, потом алгебру, а потом вообще стало всего много и старинные классификации остались только в традиционных названиях кафедр.
Докажем теорему. Построим радиус из центра окружности О в точку А. Радиус можно принять за единицу, это ничего не меняет по сути. Угол AOB обозначим α. Тогда AB=sinα, а OB=cosα. Выразим отрезок CB=1-cosα.
Нам нужно выразить отрезок АВ, который равен синусу:
AB² = sin²α = 1 - cos²α = (1 - cosα)(1 + cosα) = (1 - OB)(1 + OB) = CB∙BD.
Вот и всё. Мы использовали тот факт, что CO=OD=OA = 1 - это всё радиусы.
Отсюда сразу видно, что среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического (или равно в особом случае). Ведь среднее арифметическое двух кусков диаметра всегда равно радиусу, а перпендикуляр всегда меньше радиуса (или равен в том случае, если с ним совпадает).
Можно и аналитически доказать неравенство: оно сводится к
xy ≤ (x+y)²/4,
откуда 4xy ≤ x²+y²+2xy
и 0 ≤ x²+y²-2xy = (x-y)².
А с этим уже не поспоришь.
Растянуть на любые множества (с двухэлементных) немного сложнее, здесь бы я предложил использовать аппарат частных производных, но не будем углубляться.
Поскольку два средних совпадают при равных значениях всех чисел, то разницу можно использовать как меру разброса; но осторожно. У чисел 2 и 0 средние равны 1 и 0, а у чисел 2 и 4 средние равны 3 и 2.44. Хотя разброс у них вроде как одинаковый.
В общем случае среднее геометрическое рассчитывается перемножением всех элементов и извлчением корня соответствующей степени. Можно сказать так, что берется среднее арифметическое логарифов, и результат трактуется как логарифм ответа.
В любом случае, среднее геометрическое годится только для положительных чисел. Для нуля - с натяжкой.
В экономическом словаре упоминается какая-то экономическая магия:
считается, что ср. геометрическое лучше подходит для описания показателя прошлой доходности, а для оценки будущих доходов больше подходит среднее арифметическое. Ср. геометрическое лучше суммирует через сложный процент доходы прошлых периодов, а ср. арифметическое дает представление о доходе за 1 период без усложнения доходностей.
Ну не знаю...