Давайте пробежимся ненавязчиво по основным соотношениям механики Ньютона. Итак, пусть у нас есть материальные точки, описываемые тремя координатами (радиус-вектором r), тремя скоростями (вектор скорости v, производная r) и массами m. Координаты и скорости зависят от времени t.
Еще есть силы f, которые описываются векторами и меняют скорость точки по второму закону Ньютона:
Отсюда сразу следует первый закон: если сила равна нулю, то скорость неизменна: точка движется равномерно прямолинейно. В частном случае, покоится.
Что такое сила — не очень понятно, на самом деле. Можно оставить всё так, определяя силу через второй закон. Так мы поступали, определяя релятивистскую силу. Ударные взаимодействия в эту схему не попадают и мы их опишем отдельно, но попозже.
Можно силу задать как функцию радиус-вектора и скорости точки. Часто сила является антиградиентом некоторой потенциальной энергии U какого-то поля. Обычно это так, кроме силы трения. Но если это не так, то не будет и механических законов сохранения...
Проще говоря, сила действует в направлении убывания потенциальной энергии, которая в каждой точке своя: зависит от координат. Тогда можно домножить второй закон на скорость и применить правило дифференцирования сложной функции. Это очень наглядно, если производные и градиенты писать как дроби:
Второй закон Ньютона теперь выражает равенство двух производных: кинетической энергии и потенциальной с обратным знаком. Обратите внимание, откуда берется "пополам" в формуле для кинетической энергии. Если производные равны, то сами величины отличаются на константу:
Это закон сохранения энергии во внешнем потенциальном поле, описанном потенциальной энергией U.
Сюда попадает маятник на веревке (потенциальная энергия силы тяжести), маятник на пружине (энергия упругости "поля", создаваемого пружиной), задачи космической механики (энергия ньютоновской гравитации).
Теперь пусть поле не внешнее, а наши материальные точки взаимодействуют друг с другом через некоторое поле. Теперь энергия зависит не от координат r, а от разностей координат. И силы тоже. Так можно и ударные взаимодействия описать, полагая поле нулем, если расстояние больше некоторого, и очень сильным, если равно некоторому.
Вот теперь надо что-то предположить. Либо то, что воздействие одной точки на другую связано с потерей энергии одной и приобретением энергии другой, и вывести отсюда третий закон Ньютона, или сразу его и постулировать: векторная сумма сил равна нулю. В случае двух точек все понятно: действие равно противодействию. Если все точки разбить на пары и для всех пар закон имеет место, то и в общем случае он будет, что очевидно.
Из этого закона сразу получается закон сохранения импульса. Импульс - это mv, так что в левой части второго закона (mv'=f) стоит производная импульса ((mv)'=f). А ведь если равна нулю сумма сил, то нулю же равна и производная суммы импульсов, что и означает ее постоянство.
Вот так вот законы связаны друг с другом. Одни влекут другие, всё зависит от предположений. Нет эдакой единой истины, на все случаи жизни, хотя, конечно, фундаментальные уравнения все-таки неизменны.
И это мы еще только начали...
Оглавление рубрики "Мой учебник"