Давно хотел рассказать о диффузии/теплопроводности, а вот зашел разговор, и необходимость назрела. Я расскажу про уравнение теплопроводности, оно же уравнение диффузии, и покажу одну забавную штуку, с ним связанную.
Итак, одномерное уравнение в подходящей системе единиц выглядит так:
Здесь T(t,x) - температура некоторого одномерного объекта: стержня, скажем. Не обязательно прямо по-настоящему "одномерного": достаточно, чтобы температура была постоянной в двух других измерениях. Например, если стержень длинный и тонкий. Слева стоит производная по времени, справа вторая производная (производная от производной) по пространственной переменной х.
Температура у нас является выражением количества теплоты, благо никакой механической работы не подразумевается.
Как получается уравнение? Из локального закона сохранения теплоты и закона Фурье для потока тепла. Закон Фурье гласит, что поток тепла направлен по антиградиенту температуры. В одномерном случае и при подходящих единицах измерения поток равен производной по х со знаком "минус". Чем быстрее убывает в пространстве температура, тем больше поток тепла оттуда, где его много туда, где его мало.
Итак, поток тепла равен -T'. Рассмотрим маленький участок стержня длины dx. В нем содержится теплота Tdx, а за время dt она может измениться на dTdx.
Это изменение происходит только из-за потока теплоты через левую и правую границу. Но положительный поток справа уносит тепло из объема, а слева вносит, так что надо взять разность. И умножить на dt: получится количество теплоты. Получается, что
dTdx=dT'dt
После деления на dtdx и перехода к пределу получаем уравнение.
Казалось бы, раз уравнение выведено из закона сохранения, то он, закон этот, будет выполнен для любого решения. Говорят, что решение "консервативно".
Если предполагать, что T'=0 на бесконечности, то да, такое решение консервативно.
В самом деле, проинтегрируем решение по x по всей прямой и возьмем производную по времени. Внесем ее под интеграл:
Однако...
Нетрудно проверить, что в числе решений уравнения на всей числовой прямой есть и такие:
T(t,x) = exp(ax+a²t) для любого числа a.
А для них закон сохранения не выполняется.
Да, тут есть сложности с бесконечностью, но это всё можно утрясти. Уравнение, выведенное из предположения консервативности, допускает неконсервативное решение!
Получается, что в каждый участок стержня из бесконечности приходит тепло, которое частично уходит с другой стороны; но не полностью. Есть решение T(t,x)=x, но оно консервативно, хотя на бесконечности бесконечно. Правда, оно вынуждено принимать и отрицательные значения. Но оно консервативно! Приходящее из бесконечности тепло в бесконечность же и уходит.
К чему это я веду?
Мы получили простой пример удивительного эффекта: консервативное в основе уравнение (выведенное из закона сохранения) допускает неконсервативные решения (закон сохранения нарушающие). Правда, при задании "нормальных" условий на бесконечности или при задании граничных условий в конечной области всё хорошо и такого безобразия нет.
Но ровно те же эффекты есть и в ОТО! Если мы рассмотрим бесконечную Вселенную без "хороших" условий на бесконечности, то могут быть странные эффекты. В частности, локальный закон сохранения имеется, но глобальный отсутствует. Точно так же, как и в теплопроводности! При подходящем поведении на бесконечности всё хорошо, но не в общем случае.
Но какое нам дело до общего случая? Решение Шварцшильда получается как раз при условии "плоского" пространства-времени на бесконечности. Что очень физично: вдали от звезды ее гравитация неощутима. Решения типа Фридмана для всей Вселенной получаются в других предположениях, ну так там и ситуация иная.
Как мы переходим от локального закона сохранения к глобальному? Локальный гласит, что изменение количества в малом объеме равно потоку через границу объема. Глобальный склеивает из маленьких объемов большой: потоки через внутренние границы сокращаются, получается то же утверждение для большого объема. В искривленном пространстве это может быть неосуществимо, но допустим, что это удалось. Увеличивая объем, мы приходим... к условиям на бесконечности. Если "из бесконечности" что-то приходит, сохранения не будет. Примеры выше. И ровно то же самое, только технически посложнее, происходит в ОТО!
