Приветствую, и сегодня текст для профессионалов. Я расскажу об одном удивительном результате, о котором многие не знают. Итак, теорема С.М. Воронина [1] об универсальности дзета-функции Римана.
Сама функция определяется для z>1 суммой ряда
Далее она продолжается на всю комплексную плоскость (кроме точки z=1).
Если аналитическая функция задана на отрезке, ее можно разложить в степенной ряд, который сходится в некотором круге. На границе круга обязана найтись особая точка. Можно выбрать точку близ границы и разложить в ряд вокруг нее. Новый круг обычно выходит за пределы старого. Так функцию можно определить "везде, где можно" --- чаще всего, на всей комплексной плоскости, кроме особых точек.
Для дзеты стоит нерешенная Гипотеза Римана: что ее нетривиальные нули лежат на прямой 0.5 + bi. Тривиальные нули лежат в вещественных точках вида -2k, k натуральное.
Но мы о другом. Дзета-функция может приблизить любую аналитическую (в строго определенном смысле)! Если аналитическая функция в некотором круге не имеет нулей, то для любого ε найдется сдвиг вдоль мнимой оси, такой, что дзета в сдвинутом круге приближает выбранную функцию с точностью ε (в каждой точке, в метрике C).
Автор отмечает, что результат верен для всех L-функций Дирихле.
Вот точная формулировка [1]:
Пусть 0<r<0.25 и f(z) аналитическая внутри круга |z|<r функция, непрерывная вплоть до границы и без нулей внутри. Для любого ε>0 существует вещественное T, такое, что
Потрясающий результат, коллеги.
[1] С. М. Воронин, Теорема об “универсальности” дзета-функции Римана, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1975, том 39, выпуск 3, 475–486.