Очень часто важнейшей характеристикой той или иной зависимости является скорость ее роста. Есть даже целое направление в математике: асимптотические методы. Асимптотика — это и есть поведение на бесконечности (или вообще в пределе).
Итак, эталоном служит линейный рост, или рост линейных функций: y=ax. Можно и ax+b, но свободный коэффициент погоды не делает при больших х. Конечно, чем больше угловой коэффициент а, тем быстрее растет функция, но все равно рост считается линейным.
Дело в том, что есть функции, растущие быстрее любой линейной. Например, это степени xᵐ при m>1. Линейные функции попадают в этот класс при m=1, кстати. Степень обгонит любую линейную функцию, рано или поздно.
Но вот что любопытно! Есть линейная функция ax, есть степень xᵐ; и при любом m она обгонит линейную с любым a.
То есть показатель m роста степенной функции идет после всех показателей a роста линейной: похоже на трансфинитные числа.
Иными словами, идет ряд показателей скорости роста а от 1 до бесконечности для линейных, а после него идут показатели скорости роста для степеней от 1 до бесконечности. И никак до этого второго континуума не добраться, идя по первому.
Есть функции, растущие быстрее любой степени. Например, экспонента exp(kx), и у нее свой показатель скорости роста k.
И так далее.
Ладно. Ничего удивительного, что между двумя линейными есть множество линейных, растущих быстрее одной, но медленнее другой. И аналогично для степеней. Но удивительно, что есть функции, растущие быстрее данной линейной (с коэффициентом а), но медленнее любой другой линейной (с коэффициентом больше а)! И аналогично для всех других классов.
В самом деле, функция xln(x) растет быстрее, чем х, но медленнее, чем ax при любом a>1. Если попытаться описать скорость роста числом, то у ax это а, а вот у xln(x) этот показатель (гипотетический, конечно) больше единицы, но меньше любого другого числа a>1.
Как вам такое?
Если как-то легализовать эти показатели (числами их пока называть нельзя), то получается, что есть множество "чисел", больших единицы, но меньших любого другого числа а>1. Причем они неархимедовы: можно таких "чисел" сколько угодно сложить, но сумма все равно будет такой же (больше 1, но меньше любого а<1). Потому что, например, ax при любом a уступает в скорости роста любой степени и тем более экспоненте. Так что axexp(x) растет быстрее экспоненты exp(x), но медленнее любой exp(kx) при k>1.
Можно сказать "ну что за дичь, нет таких чисел!". Верно, их нет на числовой прямой. Но их можно ввести некоторыми дополнительными аксиомами. Так получается нестандартный анализ.
Там вводятся именно такие числа, которые называются бесконечно малыми и играют роль бесконечно малых обычного анализа. И противоречий нет. Ну и бесконечно большие, упомянутые выше, тоже получаются.
Разумеется, скорость роста функций здесь просто наводящее соображение.
Правда, как в том анекдоте: "пришла полиция и разогнала всех": есть функции вроде 1/x, которые вырастают до бесконечности на конечном интервале и уделывают по скорости все экспоненты и вообще всё, что идет после них по нашей шкале роста.
Аналогично можно говорить о скорости убывания. И вот тут есть интересные нюансы в теории рядов. Известно, что для сходимости ряда необходимо, чтобы "общий член" стремился к нулю. Но не достаточно, пример Σ(1/n) — этот "гармонический" ряд расходится. То есть 1/n убывает недостаточно быстро, так что их сумма растет до бесконечности (скорость роста логарифмическая, как ln(n)). Но вот если n в знаменателе будет в любой степени s>1, то ряд сходится. Его сумма зависит от показателя степени s и называется ζ-функцией Римана. Да, эта та самая дзета. Да, и та самая тоже.
О ней в другой раз, а пока посмотрим, что будет, если заменить n в знаменателе на nln(n). Этот ряд расходится, что легко установить через интегральный признак (о нем тоже в другой раз), то есть скорость убывания недостаточно большая. А скорость роста суммы получается ln(ln(n)), что не просто медленно — невообразимо медленно. Логарифмы все пропорциональны друг другу, скорость роста у них можно считать одинаковой, так что заменим натуральный логарифм десятичным. Логарифм растет, мягко говоря, очень медленно: lg(10)=1, lg(100)=2, lg(1000000)=6, в общем, сколько нулей — такой и логарифм. Число "10 в степени 100" намного больше числа частиц в (видимой) Вселенной. Критическую плотность мы знаем, радиус видимой Вселенной тоже, можем оценить массу: она имеет порядок "10 в степени 53" килограмм. Грамм на три порядка больше: получим степень 56. Если это все водород, то надо умножить на число Авогадро (порядок 24), чтобы получить число атомов. Будет порядок 78. Как-то так. Число фотонов оценивают как порядок 84.
Так вот функция lglg(n) на числе 10 в степени 100 дает всего лишь 2. Но растет до бесконечности, в теории.
Функции вроде логарифма иногда называют "почти ограниченными". Эта же ограничена в любом разумном смысле... кроме строго формального.
Так и живем.
Я уже рассказывал о том, как такие запредельные значения могут аукнуться. Например, в Санкт-Петербургском парадоксе мы бросаем монетку, пока не выпадет решка. Выпала впервые на n-ом броске — получаешь выплату в 2ⁿ монет. Хорошая игра, но сколько стоит платить за право сыграть один раз? Надо посчитать математическое ожидание, которое равно сумме всех мыслимых выплат, умноженных на их вероятности. Выпасть решка может впервые на любом броске n, вероятность этого события равна 1/2ⁿ и в точности обратна выплате. Так что вклад каждого исхода равен одной монете. Получается бесконечный средний выигрыш, что и составляет парадокс. Отсечка выплат на значении 2ᴺ (пусть и астрономически большом, например, 2¹⁰⁰) сразу дает вменяемый средний выигрыш в N+1 (например, 101).
Причем если у заведения нет таких денег, а есть тысяча рублей только, то и плата рубей в 10-11 разумна: не больше.
Или, скажем, первая заметка моего канала, про плюс-минус 10%. Если мы с равными шансами увеличиваем вложения на 10% или теряем те же 10%, то в среднем, теоретически, мы при своих. Хотя на практике все проиграем почти наверняка. Разницу между правильной теорией и (тоже правильной) практикой и обеспечивают теоретически возможные, но практически не встречающиеся исходы вроде "выиграть сто раз подряд". Это маловероятно, но зато очень-очень доходно. Вклад такого исхода заметен. Хотя сам исход слишком маловероятен, чтобы его засчитывать. А парный к нему "сто раз проиграть" практически не отличается от "20 раз проиграть", так и так это уже разорение, нуль есть нуль, как его не уменьшай, он нулем и останется. Поэтому теоретические "удачные" исходы вклад вносят, а неудачные — нет. Вот и получается среднее в теории равно начальному капиталу, а на практике убывает.
Нетрудно придумать пример, при котором среднее будет расти, и получается, что надо играть, а играть-то и не надо. Совсем крайний пример такой: с равными шансами капитал умножается на 4 или обнуляется. Каждый раз выгодно продолжать, ведь либо получишь 4, либо 0, равновероятно, то есть в среднем это 2. Но продолжать — это путь к разорению, причем довольно быстро. Здесь исход предопределен с вероятностью единица, но редкие события типа "выиграл семь раз подряд и увеличил капитал более чем в сто раз! А потом не повезло!" подводят теоретическую базу под продолжение игры. И нет хорошего критерия, когда надо "соскакивать".
Ну и последнее. Есть такие ряды Фурье: если упрощать, то это разложение сигналов по гармоникам разных частот. Так вот, чем быстрее убывают коэффициенты ряда (вклады высоких частот), тем более гладкий сигнал. Убывать они могут сколь угодно медленно, и сигнал будет сколь угодно плох. Обобщенные функции тоже можно раскладывать в ряд Фурье, но для них коэффициенты могут не убывать. Так, для дельта-функции они постоянны. Могут и расти, и чем быстрее, тем "хуже" обобщенная функция. Однако рост коэффициентов не более чем степенной! На этом основана необратимость теплопроводности и диффузии: вперед можно считать с любого распределения, даже обобщенного, а вот назад — только с результата расчета вперед.
Впрочем, это тема для другой беседы. Да и о рядах Фурье в другой раз расскажу — есть что.
