Есть в математике такое важное понятие, как компактность множества. Кто-то вспомнит "замкнутое и ограниченное" и будет прав. Вообще же понятие более сложное, и разобраться в сплетениях компактности, бикомпактности, секвенциальной компактности и предкомпактности довольно сложно.
Если не углубляться в дебри топологии, то можно достаточно просто всё изложить на языке последовательностей. Компактное множество — такое, что из любой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Это "тесное" множество, в котором нельзя выбрать бесконечно много точек так, чтобы они где-то не накапливались.
Последовательность — это пронумерованные точки: первая,вторая, третья... Сходящаяся последовательность приближается к некоторой точке-пределу, причем в любой, сколь угодно малой окрестности лежит весь остаток последовательности, начиная с какого-то номера.
Давайте посмотрим, что может помешать сходимости. Во-первых, уход в бесконечность: точки 1, 2, 3... ни к чему не приближаются. Отсюда следует, что компактное множество ограничено, уход в бесконечность невозможен.
Во-вторых, множество должно включать в себя свою границу. Иначе последовательность может к обрыву подходить, а сам обрыв уже "не считается". Отсюда замкнутость компактного множества.
Третья причина — как раз отсутствие согласованности. Пример: последовательность из 0 и 1 попеременно. Она не сходится ни к нулю, ни к единице, потому что никакой остаток последовательности не лежит в окрестности одной из точек.
Но можно отсеять "половину" точек, перейдя к подпоследовательности, и она будет сходиться.
Поэтому компактное множество обязательно замкнуто и ограничено. В конечномерном пространстве этого достаточно, а в бесконечномерном — точно нет.
Даже мои коллеги делали такую ошибку, допуская, что бесконечномерный компакт может не быть замкнутым-ограниченным. Не может. Замкнутость и ограниченность — без них никак. Но их может быть мало.
Почему этого свойства достаточно в конечномерном пространстве, ясно: делим множество на два куска, в одном (хотя бы) окажется бесконечно много членов последовательности. Делим его на два и так далее, приближаясь к какой-то точке-пределу, а всё, что выбивается, безжалостно отсеивается.
В принципе, можно пересчитывать рациональные точки (все координаты рациональны), и тогда пределом будут вообще все точки множества. Неважно! Можно выделить сходящуюяся подпоследовательность? Можно. А сколько можно их выделить — не оговаривается.
В бесконечномерном пространстве может, упрощенно говоря, быть базис из векторов, которые все ортогональны и никакого предела из них не выделить. Например, sin(nx). Даже если ортогональности нет, всё равно аналогичные контрпримеры строятся.
Польза компактности в том, что любая непрерывная функция на компакте достигает своего максимума и минимума и непрерывный образ компакта тоже компакт. По-отдельности замкнутость и ограниченность этого не дают, только совместно. Первое свойство облагчает решение задач на максимум и минимум, а второе позволяет "размножать" компактные множества. Имея одно, можно построить сколько угодно ещё.
Предкомпактность — это если замыкание компактно. В конечномерном пространстве это просто ограниченность множества, а вот в бесконечномерном это важно.
В пространстве непрерывных на отрезке функций есть критерий комактности: теорема Арцела. Для предкомпактности множества функций нужна ограниченность и равностепенная непрерывность. Норма в пространстве (аналог длины вектора или модуля числа) — это максимум функции по модулю на отрезке, так что все функции должны быть ограничены одной и той же константой; но этого мало для предкомпактности. Надо, чтобы скорость изменения всех была не больше некоторой предельной, одной на всех. Если функции дифференцируемы, то производная у них у всех во всех точках ограничена одной и той же константой.
Пример. Возьмем семейство нормальных распределений со всевозможными дисперсиями. Соответствующие функции распределения ограничены (они между 0 и 1 по определению), но по мере уменьшения сигмы стремятся к разрывной функции: левее нуля нуль, правее нуля единица. Это достоверное событие "нуль": вероятность, что случайная величина меньше отрицательного числа равна нулю, а вероятность, что она меньше положительного, равна единице.
Разрывная функция в пространство непрерывных не входит, последовательность предела не имеет (имеет, но он "не подходит"), сходящуюся подпоследовательность из нее не выделить и множество не предкомпактно.
Но условие нарушено: скорость изменения (производная) растет до бесконечности.
Так что компактное множество в пространстве непрерывных функций очень "тесное", там нельзя слишком быстро расти и функций там будет "мало".
К чему я веду? Мы рассмотрели теорему Пикара для дифференциального уравнения с начальным условием. Если правая часть "хорошая", то решение есть, и притом единственное. А что, если правая часть недостаточно хорошая?
Ответ даёт теорема Пеано. О которой мы тоже говорили уже. Пусть уравнение y'=f(x,y) имеет начальное условие y(0)=0 и функция f непрерывна (больше ничего не требуем). Теорема Пеано утверждает, что решение есть. Хотя может быть и не одно, если функция F в условия теоремы Пикара не попадает.
Запишем уравнение в виде интегрального:
и устроим итерации, начав с y0(x)=0 и вычисляя новое приближение подстановкой предыдущего в правую часть. Получится последовательность функций. Непрерывных (по свойству интеграла). У каждой есть производная, по тем же свойствам равная f(x,y), где в качестве y стоит предыдущее приближение.
Несложно установить, что все приближения ограничены одной и той же константой. Здесь может пригодиться локальность, то есть возможность уменьшить диапазон изменения x, то есть пределы интегрирования.
Теперь смотрим: x из отрезка, y из другого отрезка, то есть f(x,y) задана на компакте: прямоугольнике. И, как непрерывная, ограничена там.
Таким образом, производные всех приближений ограничены одной и той же константой.
Последовательность приближений ограничена и равностепенна непрерывна, а значит, предкомпактна.
Выделим из нее сходящуюся подпоследовательность: она сходится к решению.
Правда, она такая может быть не одна, но мы и не обещали.
Теорема доказана.
Если вас смущает специфическое начальное условие, то не стоит смущаться: простой сдвиг позволяет перейти к данному, не испортив свойств (непрерывности) правой части.
Ещё может смущать начальное приближение, которое мы выбрали. Для него может быть и один предел и одно решение. А если начать с другого, то получится другое решение.
Верно, но нам надо было показать, что решение есть. Единственность мы не обещали и, более того, есть примеры задач с неединственным решением. Так что начинаем с чего хотим и показываем, что решение есть. И всё.
И эта техника применяется очень часто! Поэтому и разновидностей компактности очень много.
Кое-что интересное потом еще обсудим.