Задачи на максимум или минимум, как правило, снабжены ограничениями в виде равенств или неравенств. Равенства можно убрать, выразив одну переменную через остальные и подставив в остальные соотношения (уменьшив размерность задачи), или применив метод Лагранжа (и увеличив размерность задачи). Остаются неравенства, из которых часть (или все) насыщены, то есть обращаются в равенства, а другая часть --- ненасыщены, то есть "есть запас".
Конечно, нетрудно найти примеры, когда ограничения ненасыщены. Например, найти самое глубокое место в море. Ограничение "не выйти за пределы" есть, но яма на дне, скорее всего, не у берега, так что ограничение нужно исключительно для исключения других впадин, в других морях и океанах.
Однако, если речь идет о ресурсах, такая ситуация редка. Получается, что все ресурсы в избытке. Так "не бывает".
Вывод неожиданный: оптимизация "всегда" приводит к потере устойчивости системы. В самом деле, выход на границу означает, что малейшие флуктуации запаса могут все сломать.
Рассмотрим умозрительный пример. Задача гонщинка --- пройти трассу за минимальное время. При этом надо оставаться в пределах трассы, не превышать предельную мощность двигателя, не допускать перегрева и тому подобное.
Оптимум требует пройти по самому краю, разогнать двигатель до предела, мириться со стрелкой на красной черте... Не обязательно все сразу. Ясно, что нарушение этих ограничений ведет к поражению (слетел с дороги, лишился двигателя...), но и в другую сторону это тоже плохо: кто рискнул добавить полпроцента мощности (и двигатель выдержал) --- тот победил. На этой неустойчивости всё и держится.
Вот чуть более формальный пример. Крепость можно атаковать с суши и с моря. Если весь гарнизон защищает с суши, крепость отобьется. Если весь гарнизон защищает с моря, тоже, но при этом атакующие утонут. Если же разделить гарнизон на части, удержать оборону они не смогут.
Командир крепости вынужден угадывать действия командира осаждающих, и наоборот. Нападать с моря рискованно, но если не защищать ту сторону, то --- нет. Если он поделит гарнизон на части, то он уже проиграл. Он вынужден ставить все на карту.
Кстати, в грамотно спроектированной технике заложен огромный запас прочности. Если это не "оптимизированный" автомобиль для гонок, конечно.
Рассмотрим, наконец, пример из Арнольда [1]. Он очень показателен.
Динамика популяции (рыб в пруду, скажем) описывается неплохо логистической моделью:
X' = aX(1 - X/B) - C.
Здесь X(t) --- численность особей (их много, поэтому приближаем вещественным числом; кого это волнует, пусть считает X биомассой), a --- среднее число выживших потомков на одну особь, B --- емкость среды, то есть сколько особей пруд может прокормить. Число C --- это средний отлов за единицу времени, год, например.
Почему "логистическая" --- не знаю.
Если отлова нет и X мало по сравнению с B, получается модель Мальтуса. Животные размножаются, в среднем по a на особь в год, получается экспоненциальный рост. В природе такой рост долго наблюдаться не может, среда не прокормит --- так что кто-то уступает место, и скорость роста снижается. Отлов просто снижает численность, на C особей в год, равномерно.
Какие у модели равновесия? Равновесия --- это численность, которая во времени не меняется. Особи рождаются, умирают, отлавливаются --- но общая чисенность приблизительно стабильна.
В отсутствие отлова, C=0, равновесий два: X=0 и X=B. С первым все ясно, если рыбы нет, ее и не будет --- некому размножаться. Это равновесие неустойчиво (к счастью), так как если в пустой пруд добавить немного рыбы --- ее станет много.
Гусары, молчать! Про половое размножение все в курсе. Был случай, как в пустой пруд выпустили пять особей и через год выловили пять жирных особей. Все мужского пола.
Второе равновесие устойчиво: если вдруг рыбы больше, чем B, пруд столько не прокормит, и численность будет снижаться, возвращаясь к B; а если рыбы меньше, то численность растет, опять-таки приближаясь к B.
Теперь включим отлов. Поиск равновесий сводится к решению квадратного уравнения
(a/B)X^2 - ax + C=0.
Тут возможны варианты. Если C большое, в том смысле, что дискриминант отрицателен: C > 0.25aB, то корней нет. Комплексные нас в данном случае не устраивают. При таком большом отлове рыба просто не успевает размножаться (и это при том, что у нас в модели нет никаких задержек, нереста, сезонности).
Если C малое, в том же смысле: C < 0.25aB, то корни есть, два разных, оба положительны. Большее меньше B --- это равновесие устойчиво. Нижнее --- неустойчиво, оно положительное, чтобы дать рыбе возможность восстановить свою численность, нарушенную отловом. Если численность станет ниже, рыба не успеет восстановиться и дела пойдут еще хуже, и популяция вымрет; если же численность выше, то популяция будет расти, подтягиваясь к верхнему положению равновесия.
Решением задачи "максимизировать отлов при условии сохранения популяции" является отлов на уровне C = 0.25aB. при этом есть одно положение равновесия X = B/2, то есть мы ловим много рыбы, а численность ее постоянна, популяция восстанавливается: сколько за год наловили, столько и народится.
Беда в том, что устойчивость потеряна. Если численность будет больше, еще ничего страшного, она опустится обратно; а вот если ниже, то она будет убывать вплоть до нуля.
При этом не важно, насколько строго соблюдаются квоты на отлов! Дело не в них. Всегда есть флуктуации, задержки, эпидемии, нарушения. Сама модель приблизительно описывает реальность. Неустойчивое равновесие неизбежно будет потеряно.
Кстати, динамика атмосферы в каждый момент времени неустойчива. Поэтому предсказать погоду на две недели в принципе невозможно, дело даже не мощности компьютеров и не в объеме данных.
Пропустить этот эффект, решая более сложные задачи оптимизации, очень просто. Но, даже все понимая, порой приходится следовать навязанным правилам.
В го или в бридж можно играть осторожно. Но так не выиграть. Приходится рисковать, и решает все мастерство. Переиграл противника (противников) в ключевой момент --- и победил.
Например, ты либо имеешь резервы, либо вкладываешь все деньги в оборот. В случае "чего" тот, кто с резервом, выиграл, но "чего" случается редко. И он проигрывает, и его поглощают. А когда приходит кризис, без резервов все идет прахом.
Или вот мировая экономика в условиях глобализма. Она максимально эффективна, и в этом ее проблема.
Ни на что не намекаю, просто.
[1] Арнольд В. Жесткие и мягкие математические модели.