Привет, друзья, поговорим об интуиции. Интуиция у нас привычна к линейным тенденциям, так уж повелось: если нечто растет с ростом чего-то, то значит растет. А убывает, так убывает. Этот эффект прекрасно обыгран в книжке "Штамм Андромеда". Там упал кусок космического аппарата в городке и занес вирус, и все умерли. Все, кроме двоих: младенца и старого алкаша. И у них вот вообще ничего общего! У одного кислотность зашкаливает, а другого в нуле. И в этом всё дело было: выживаемость вируса как функция кислотности оказалась гауссианой! При больших и при малых значениях вирус не жил. Дошло до героев не сразу.
Конечно, когда есть два фактора, и рассматривается их разность, то интуиция к такому готова. Но если этих двух не видно, то интуиция часто сбоит.
Кстати, есть такой класс функций: функции ограниченной вариации. Грубо говоря, это функции, изменение которых конечно. Интеграл от модуля производной конечен (хотя производной может и не быть, но это уже технические детали). Вы можете разгоняться и тормозить как угодно, только пройденный путь "туда-сюда" должен быть конечен.
Довольно разумный класс функций, тем более что он и разрывные может включать.
Так вот есть теорема: функция ограниченной вариации может быть представлена как разность двух возрастающих.
То есть "любой" процесс есть борьба возрастающего и убывающего. Любопытно. И совсем неочевидно.
Это я все к чему? А вот к чему: пусть у нас есть планета, постоянной (пока) плотности. И есть ускорение свободного падения, или вес тела. Где это ускорение максимально?
Оно максимально на поверхности планеты. Что вверх, что вниз — будет уменьшаться. Давайте это докажем.
Если мы отдаляемся от планеты, то сила тяготения (по Ньютону) равна силе, с которой притягивает это тело массы m материальная точка в центре шара. Так что если радиус и масса планеты R и M, а высота над поверхностью h, то сила равна GMm/(R+h)². А потенциал равен GMm/(R+h).
Тут любопытно, что потенциал надо разложить до первой степени h, если мы хотим построить приближение. Получится GMm/R-GMmh/R². Постоянное слагаемое роли не играет, так как важна разность потенциалов, а второе слагаемое и есть mgh.
А вот силу достаточно приблизить в нуле, положив h=0. Получится школьная mg.
Налицо явное убывание по мере отдаления от планеты, что вполне интуитивно.
Однако по мере углубления в недра сила тоже убывает, хотя кажется, что нет. В самом деле, по теореме Ньютона, однородная сферическая оболочка не притягивает. Это легко понять, рассмотрев тонкую оболочку: два противоположных кусочка имеют площади, пропорциональные квадрату отношения расстояний и притягивают по закону обратных квадратов, так что силы одинаковы.
Отсюда следует, что слои земли выше тела его не притягивают. Притягивает шарик ниже. По мере углубления на h, объем притягивающего шарика падает как (R-h)³. Масса при постоянной плотности тоже пропорциональна этой величине. Шарик притягивает как точка в его центре, то есть обратно пропорционально (R-h)². В итоге сила пропорциональна R-h. То есть, по мере роста глубины погружения h сила убывает и обращается в нуль в центре планеты.
В любом случае всё зависит от расстояния х до центра планеты. При углублении в недра сила тяжести пропорциональна х, а при взлете с поверхности она падает как 1/х².
Переменная плотность не меняет выводов по сути. Если плотность ограничена, то препятствовать снижению она не сможет. Даже если стремится к бесконечности не слишком быстро — не сможет. Максимум обязательно будет где-то недалеко от поверхности.
Релятивистские поправки тоже немногое меняют. По-другому считаются расстояния и объемы, но суть остается прежней.
В частности, именно по этой причине коллапс звезды начинается с поверхности, а не изнутри. Внутри, конечно, выше давление и выше плотность, но зато и критическая плотность там намного больше. Максимальная гравитация так и так на поверхности.
