Имеет смысл прояснить технику расчета потенциалов для случаев сложнее одной материальной точки. Да и для нее тоже.
Пусть материальная точка массы M придает точке массы m на расстоянии r потенциал (потенциальную энергию) MmU(r). Мы ответим на два вопроса: Какой потенциал задают:
Система материальных точек;
Тело конечных размеров с заданным распределением плотности, например, вращающаяся звезда — причем пробное тело может находиться и внутри;
Шар со сферически-симметричной плотностью
Сплошная среда переменной плотности, например, межзвездный газ;
Сплошная среда с внедренными в нее материальными точками и телами конечных размеров?
И что с этим потенциалом можно делать?
Точка массой m называется пробным телом. У нее есть координаты, от которых зависит r и, следовательно, потенциал. Притягивающее тело считаем неподвижным. Если оно движется, то потенциал будет меняться во времени — техническое усложнение. Если учитываем взаимное притяжение, то будет еще сложнее — но тоже делается.
Кстати, мы уже обсуждали, что при естественных предположениях выбор потенциала U не столь и богат, точнее, выбор отсутствует: единственный вариант --- это U(r)~1/r.
Потенциал удобен тем, что аддитивен: можно складывать. Поэтому две точки дадут просто сумму потенциалов. Вот и ответ на ч.1 вопроса 1: для системы материальных точек создаваемый ими потенциал равен сумме потенциалов.
Теперь обсудим тело конечных размеров. Применим идею интегрального исчисления: разделим мысленно тело на мелкие куски так, чтобы плотность каждого куска была примерно постоянной, а размеры кусков были достаточно малы, чтобы их можно было принять за материальные точки. Переход к пределу можно понимать так, что размеры эти настолько малы, насколько вам угодно. Плотность кусочка умножим на его (малый) объем, получив массу, а расстояние от кусочка до пробного тела тоже известно.
Так наше тело представлено в виде системы материальных точек, а эту задачу мы уже решили. Переход к пределу дает вместо суммы — интеграл, по объему тела. Посчитать его может быть технически сложно, но принципиально трудностей тут нет.
Обратите внимание, что, хотя мы строим приближение, разбивая тело на кусочки, интеграл дает точное значение потенциала. Если сможете интеграл этот точно вычислить))
При этом метод не имеет ограничений: пробное тело может быть снаружи, внутри, в центре, на границе... Главное — знать его координаты, чтобы выписать расстояния от любой точки тела до пробного тела.
В ряде случаев соображения симметрии позволяют значительно упростить расчеты. Например, если тело — симметричный (по плотности) шар. В этом случае ещё Ньютоном доказаны две теоремы — для потенциала U(r)=Mm/r.
Первая гласит, что шар со сферически-симметричным распределением плотности (то есть плотность в точке шара зависит только от расстояния до центра) создает такой же потенциал для тела вне себя, как материальная точка той же массы в центре.
Доказывается легко — из соображений симметрии.
Вторая гласит, что сферический слой со сферически-симметричным распределением плотности создает постоянный потенциал для тела внутри шарового слоя. Поскольку важна разность потенциалов (или градиент потенциала), можно считать его нулевым.
Доказывается тоже несложно.
Итак, в этом и только в этом частном (хотя и важном) случае есть некоторое различие между пробным телом вне гравитирующего шара и внутри него. То есть, формально различия нет, просто слои ниже и выше ведут себя по-разному по отношению к пробному телу. Если пробное вне — шар притягивает как материальная точка, и неважно, близко пробное тело или далеко. Земля, если считать ее шаром и плотность ее сферически-симметричной, притягивает нас на ее поверхности, как материальная точка той же массы в центре Земли. А звезды притягивают нас как материальные точки, потому что они слишком далеко, чтобы их размеры имели значение; но если они шары и симметричны по плотности, то их можно считать материальными точками и вблизи тоже.
Если же пробное тело внутри, то тот шарик, что ниже — притягивает как материальная точка в центре, по теореме 1. А та часть, что вне — не притягивает вообще, по теореме 2. Если пробное тело в центре, то, по теореме 2, у него нулевой потенциал: гравитация на него не действует. Ведь вся масса тела лежит выше и может быть расслоена на тонкие слои, которые не притягивают пробное тело.
Переходим к сплошной среде. Она ничем не отличается от тела конечных размеров, очевидно. Берем интеграл, и всё. Разница чисто психологическая.
Сплошная среда с материальными точками и твердыми телами — тоже не проблема. Твердые тела — просто области повышенной плотности, и не более того. Формально это то же самое. Материальные точки можно описать как плотность в виде дельта-функции и свести задачу к уже решенной. А можно посчитать создаваемый ими потенциал отдельно и прибавить к потенциалу непрерывно распределенной плотности.
Последний вопрос. Ну, нашли мы потенциал — дальше что? Ну, он — потенциал — зависит от координат пробного тела. Его градиент — вектор из производных по координатам — это сила. Можно применить второй закон Ньютона и рассчитать движение. Можно взять потенциал с обратным знаком и назвать это потенциальной энергией, и воспользоваться законом сохранения энергии. Правда, надо учитывать две вещи. Во-первых, тела и среды, которые создают потенциал, сами движутся, в том числе притягиваются пробным телом; а во-вторых, в больших масштабах гравитация Ньютона не точна и надо использовать ОТО.
Сказанное, почти все (кроме теорем Ньютона) относится к любым потенциалам, не только к гравитационному.
Последнее. Чисто про гравитацию Ньютона. Я уже рассказывал, что поле потенциальное, бездивергентное и симметричное может иметь только потенциал 1/r, с точностью до константы — и сейчас добавлю к этому немного. Смотрите, дивергенция векторного поля сил — это его источники, а для гравитации это — точечные массы (дельта-плотность) или распределение плотности ρ. Потенциальность поля означает, что вектор силы — это градиент потенциала. То есть дивергенция градиента потенциала — это распределение плотности! Получается уравнение
div grad U = 4пρ, или ∆U = 4пρ.
Это уравнение Пуассона. Решите его для какого Вам угодно распределения плотностей, возможно, с дельта-функциями, и получите потенциал. Идейно всё просто! Для одиночной дельты в правой части получится тот самый потенциал Ньютона: 1/r (с точностью до константы-множителя). Проверьте это сами — вам понравится.
Подсказка: сначала проверьте, что сумма вторых производных по x,y,z равна нулю везде (кроме начала координат, где нельзя), а потом рассмотрите шар большого радиуса с центром в нуле и докажите, что интеграл по этому шару равен константе, которая от размера шара не зависит. А это и есть дельта.
До новых встреч.
