Зачем нужны теоремы существования

В одной из предыдущих заметок мы разобрали принцип сжимающих отображений: если в результате некоторого преобразования множества точки становятся ближе друг к другу, то одна и только одна останется неподвижной. Это позволяет доказывать теоремы существования: если есть уравнение вида x=G(x), то достаточно найти неподвижную точку G. Или даже не найти, а доказать ее существование.

Картезианская аксиома существования тебя лично. Кстати, переоткрыта моей дочкой в возрасте 8-9 лет.

Из этого принципа выводится теорема Пикара: уравнение y'=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀ имеет единственное решение в некоторой окрестности точки x₀, при условии что функция f(x,y) липшицева по второму аргументу. Липшицевость — это свойство

| F(y) - F(z) | ≤ L | y - z |

для некоторой константы L. Оно есть, если, например, производная непрерывна и ограничена. Для f(x,y) требуется липшицевость только по второму аргументу.

Рассуждение очень простое: уравнение вместе с начальным условием равносильно интегральному уравнению

Любопытно, что дифференциальное уравнение подразумевает, что у y(x) есть производная, а интегральное уравнение этого не требует, а гарантирует.

Теперь смотрим на правую часть как на преобразование функции y(x) в какую-то другую. И нам нужна неподвижная точка этого преобразования.

Расстоянием (метрикой) между непрерывными функциями обычно полагают максимум модуля разности: максимальное уклонение. Выберем две функции y и z и посмотрим, какая разница между их образами.

В силу липшицевости и свойств интеграла можно установить, что расстояние это не превосходит

Величина |y(x)-z(x)| не больше своего максимального значения, которое обозначают ||y-z||. Получаем оценку L||y-z||(x-x₀).

Если ограничить величину x-x₀ величиной 1/L, то получим сжатие.

А значит, неподвижная точка есть, и только одна. А значит, в окрестности начального положения есть решение уравнения с заданным начальным условием. И ровно одно.

Может ли быть много решений при нарушении липшицевости правой части (а она, например, есть, если производная ограничена, то есть довольно часто), мы обсудим в другой раз. А сейчас давайте посмотрим вот на какую проблему.

Мы доказали, что решение имеется в окрестности точки. Но это издержки доказательства и решение можно продлить куда угодно, или может так случиться, что продлить и нельзя?

Может быть, что и нельзя. Пример прост: y'=y². Начальное условие y(0)=1.

Уравнение легко решается разделением переменных:

В точке x=1 решение ушло на бесконечность. Продолжить за эту границу решение нельзя.

Но разве это видно? В уравнении нет никаких намеков. И пусть мы решаем его численно методом Эйлера.

Метод Эйлера — самый простой из численных методов. Выбираем конечные шаги, пусть все одинаковые маленькие h, приближаем производную отношением разностей, и записываем:

Y(n+1) = Y(n) + Y²(n)h, Y(0)=1.

Здесь Y — приближение нашего решения. Ну, попробуем. Возьмем 101 точку с шагом 3.5/(100π), то есть от 0 до 3.5/π. И нарисуем логарифм решения...

Здесь нарисован логарифм решения, так как оно очень быстро растет. Красной линией показан логарифм модуля точного решения, умноженный на знак этого решения. Как видим, особая точка x=1 просто была пройдена алгоритмом, как будто она и не особая. Видно также, что схема Эйлера неплохо работала почти до самой особой точки, а потом погрешность стала быстро расти. Правая ветвь красной линии решением уравнения является, но не с таким начальным условием! Но то, что посчитал алгоритм, вообще не относится к уравнению.

Конечно, это пример нереалистичный и порядок 10 (тем более, 20 и 30) великоват. Однако он получен на "первом попавшемся" уравнении и демонстрирует суть проблемы. Придумать более "мягкую" ловушку уже дело техники.

А вот пример проще и на другую тему. Парадокс (или шутка, как угодно): как доказать, что самое большое число есть единица? Ну, обозначим самое большое число через М и тогда либо М=1, либо М>1. Во втором случае можно домножить неравенство на положительное М и получить верное неравенство М²>M. Это означает, что М меньше какого-то другого числа, что противоречит его максимальности. Исключив вариант, остаемся с первым и единственным: М=1.

В чём здесь ошибка?

В первой фразе: "обозначим самое большое число через М". Мы предположили, что такое число есть. Рассуждение верное (если бы самое большое число было, это была бы единица), просто не закончено. Далее надо взять очевидное 2>1, которое опровергает и первый вариант (М=1). А раз оба варианта неверны, то неверна исходная посылка: о существовании М. Мы доказали теорему "несуществования". Да, игрушечную, но показывающую принцип. Без такой теоремы можно замаскировать "секрет" и "доказать" много "интересного".

Вот для этого и надо заниматься теоремами существования и несуществования. А вот про единственность поговорим в одной из следующих заметок.