Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые двадцать пять частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь.
Задача
В ряд выписали 1000 подряд идущих натуральных чисел. Алина заметила, что выписано всего 3092 цифры. Какое число было выписано первым?
Решение (процесс)
Если бы все выписанные числа были трёхзначными или меньше, то цифр было бы выписано не более 3000, а если бы все выписанные числа были четырёхзначными или больше, то цифр оказалось бы не менее 4000. Таким образом, часть чисел - трёхзначные (или меньше), часть - четырёхзначные.
Если бы в каждом выписанном числе было ровно по 3 цифры, то всего цифр было бы 3000. Так как их 3092 - на 92 больше - то не менее 92 чисел должны быть четырёхзначными. Оставшиеся 908 могли бы быть трёхзначными, но трёхзначных чисел всего 900, поэтому и среди нашей тысячи их не более девятисот. Значит будут ещё двузначные числа.
Подбираем пример: нам подойдут 4 двузначных, 900 трёхзначных и 96 четырёхзначных числа, т.е. число от 96 до 1095.
Решение (чистовик)
Ответ: первым выписано число 96.
Пример: числа от 96 до 1095 дают как раз 4*2+900*3+96*4=3092 цифры.
Оценка: если первое число не меньше 97, то цифр всего будет не меньше, чем 3*2+900*3+97*4=3094>3092; если первое число не больше 95, то цифр всего будет не больше, чем 5*2+900*3+95*4=3090<3092.
Комментарий
Эта задача предлагалась на вступительном экзамене в 5 класс ПФМЛ 239. То есть, её должны решать четвероклассники, предположительно - ещё не имеющие кружковского опыта. Правда, от них требовался только ответ.
Кружковцы знают, что при написании полного решения подобной задачи не нужно излагать предварительные соображения, которыми они добирались до ответа - достаточно привести пример и доказать оценку. Если же неопытного ребёнка попросить написать решение, он - после долгого отторжения - напишет что-то наподобие моего черновика.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.