Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые пятнадцать частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь.
Задача
Подряд выписаны все целые числа от 1 до 100. Сколько раз в этой записи встречаются цифры: а) нуль? б) единица? в) три?
Решения
(плохое)
а) В каждом десятке есть одно круглое число, всего 10 таких чисел, но в одном из них (100) сразу два нуля - всего 11 нулей.
б) От 1 до 9 одна единица, от 10 до 19 - одиннадцать единиц, дальше в каждом десятке по одной и ещё одна в числе 100, всего - 21 единица.
в) Аналогично пункту б) считаем числа с тройками, их оказывается на одно меньше (в 100 нет тройки). Ответ: 20.
(хорошее)
а) В разряде единиц нуль встречается 10 раз (перед ним может стоять от 1 до 10). В разряде десятков - один раз (в числе 100). В разряде сотен - ни разу. Всего 11 нулей.
б) В разряде единиц единица встречается десять раз (перед ней стоит от 0 до 9). В разряде десятков - тоже десять раз (за ней - от 0 до 9). В разряде сотен - ещё один раз (в числе 100). Всего 21 единица.
в) В разряде единиц тройка встречается десять раз (перед ней стоит от 0 до 9). В разряде десятков - тоже десять раз (за ней - от 0 до 9). В разряде сотен - ни разу. Всего 20 троек.
Комментарий
Мне было реально грустно, когда ВСЕ мои кружковцы в недавнем лагере рассказывали пиратскую копию первого (переборного) решения вместо аккуратного второго. Если бы числа выписывали от 1 до 1000, половина бы не добралась до конца перебора. Поразрядный же подсчёт довольно легко перенести на любой случай. И этому циничному перебору вместо шального тоже учит кружковский опыт. Но не всех.
#математическийкружок #олимпиаднаязадача #задачанавнимательность
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.