Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые девятнадцать частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача.
Задача
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих ста, можно выбрать так, чтобы ни одно из этих чисел не делилось на разность никаких двух других?
Решение
Оценка: если выбрать больше 50 чисел, то среди них обязательно найдутся не менее двух соседних - их разность равна 1, а любое выбранное число делится на 1. Поэтому можно выбрать не более 50 чисел.
Пример: ровно 50 чисел выбрать можно, например: 1, 3, 5, ..., 99. Они все нечётные, поэтому разность любых двух из них чётная, а никакое нечётное число не делится на чётное, поэтому никакое из выбранных не будет делиться ни на какую разность.
Комментарий
Оценка+пример это классическое рассуждение, которому не учат в школе. И школьники, впервые встретившиеся с подобной задачей, будут уверенно пытаться доказывать оценку, основываясь на своём примере (придумать, что 50 нечётных чисел подходят, несложно) - слушать это довольно грустно и долго.
#математическийкружок #олимпиаднаязадача #задачанавнимательность
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.