Продолжаем серию публикаций о том, чем отличается кружковское мышление от школьного. Первые пять частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3.
В продолжение темы затронем пример очевидной задачи на тему, которую не проходят в школе.
Задача
Во дворе натянуты бельевые верёвки. Конец каждой верёвки привязан либо к берёзе, либо к фонарному столбу. Может ли оказаться так, что к каждой из семи берёз привязано по пять верёвок, а к каждому из восьми столбов - по шесть?
Решение №1 (школьник, впервые видящий подобное)
Очевидно, что нет, вот я попробовал нарисовать картинку, и у меня тут получилась лишняя верёвка... (долго соображает, как это использовать, после чего придумывает идею чётности, которую ещё дольше доказывает).
Решение №2 (школьник, позанимавшийся в кружке)
Очевидно, что нет, вот я заметил, что если сложить 35 и 48, то каждую верёвку мы посчитаем два раза, а получившаяся сумма (83) нечётная, поэтому количество верёвок окажется нецелым.
Решение №3 (сильный школьник, позанимавшийся в кружке)
Очевидно, что нет, ведь если к каждой из семи берёз привязано по пять верёвок, а к каждому из восьми столбов - по шесть, то удвоенное число верёвок равно 83, а это число нечётное.
[По сути решение №3 является более (и, одновременно, менее) удачной формулировкой решения №2, сильному школьнику кажется очевидным, что у каждой верёвки по два конца, поэтому он подсознательно опускает доказательство этого факта.]
Решение №4 (школьник, изучавший теорию графов)
Очевидно нет, по лемме о рукопожатиях.
Очевидно нет, потому что в этом графе нечётное количество вершин имеют нечётную степень.
Заключение
Чем плохи последние решения? Правильно, школьник решил, что он умнее всех, поэтому мысленно создал по условию задачи граф, для которого задача решилась очевидно, но сам процесс определения этого графа счёл недостойным описания. И если он так сделает на олимпиаде, то я поставлю ему ноль баллов. Потому что с большой властью большими знаниями приходит большая ответственность за культуру изложения.
Как говорил умный человек, при подготовке к экзамену существуют три уровня: доказательства очевидны, формулировки очевидны, логика курса очевидна. Большинство студентов останавливается на первом. Нерадивый кружковец тоже может остановиться на уровне "я самый умный" и писать решения а-ля те, что я привёл выше.
#математический кружок #задача на внимательность #олимпиадная задача
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.