Продолжаем серию публикаций о том, чем отличается кружковское мышление от школьного. Первые девять частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5.
Задача
Какие квадраты можно разрезать на прямоугольники 1х4?
Ответ
Те и только те, сторона которых делится на 4.
Решение
Очевидно, что квадрат 4х4 легко составляется из четырёх прямоугольников 1х4. Если сторона квадрата делится на 4, то его легко разбить на квадраты 4х4. [На этом месте кружковцы первого года обычно считают, что всё уже решили, дальше делать нечего.]
Если сторона квадрата нечётная, то площадь тоже нечётна - следовательно, площадь не делится на 4, поэтому разрезать на прямоугольники 1х4 такую фигуру невозможно.
Если же сторона чётная, то площадь делится на 4. Но оказывается, что 2х2, 6х6 и прочие квадраты с чётной стороной, которая не делится на 4, нельзя разрезать на прямоугольники 1х4. Например, это можно доказать так: раскрасим доску в так называемую крупную шахматную раскраску (чёрные и белые квадраты 2х2 чередуются друг с другом), при этом чёрных и белых клеток не поровну. В каждом прямоугольнике 1х4 по две чёрных и две белых клетки. Если бы можно было разрезать, то чёрных и белых клеток на доске оказалось бы поровну. Противоречие.
Комментарий
Идею раскраски придумать практически невозможно. Как правило, если школьник говорит про раскраску, значит он где-то успел позаниматься.
Реклама
Про кружковские задачи, связанные с шахматной доской, я написал книгу "Математика шахматной доски".
#математическийкружок #олимпиаднаязадача #задачанавнимательность
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.