Торты так часто служат примером для объяснения дробных чисел, что пришло время отдать им дань уважения.
Задача следующая. У вас есть рецепт торта, рассчитанный на круглую форму диаметром d₂, но у вас есть только форма диаметром d₁. Как нужно изменить количество ингредиентов, чтобы высота торта осталась прежней? Высоту, нужно сохранить обязательно. Иначе будет сложно разрезать бисквит на несколько коржей и они получатся меньше, чем предполагает рецепт, а значит может нарушиться пропорция коржей и крема, что губительным образом скажется на вкусе готового изделия.
От чего зависит высота торта? От количества теста, очевидно, точнее от его объема. С точки зрения геометрии, торт представляет собой прямой цилиндр. Его объём считается по простой формуле:
В нашем случае у нас два цилиндра, один моделирует тот торт, которые получается по рецепт, другой - тот, который мы приготовим. У них разные диаметры, но высота одинаковая. Запишем формулы для нахождения объёма каждого цилиндра и найдём их отношение:
Таким образом, мы получили коэффициент, на который необходимо умножить массу всех ингредиентов, чтобы найти нужное количество.
К этому же результату можно прийти, используя понятие подобия плоских фигур. Любые две окружности подобны. Докажем этот факт:
Проведём радиусы ОВ и ОА в окружности с и радиус O'B'. Построим угол A'O'B' равный углу AOB. Треугольники АОВ и A'O'B' подобны по двум сторонам и углу (стороны ОА и ОВ пропорциональны сторонам О'A' и O'B', а углы между ними равны по построению). Значит:
Так как окружности подобны, для них верна теорема: Площади подобных фигур относятся, как квадрат коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей. Так как для нахождения объема цилиндра нужно умножить площадь основания на высоту, которая не изменяется, значит отношение объёмов также равно квадрату коэффициента подобия.
Таким образом, можно продемонстрировать применение математики школьного уровня в реальности и получить вкусный десерт, а также подвести разговор к более общим случаям, которые довольно часто встречаются в егэ по математике.
