Недавно я был в гостях у большой и шумной семьи, в которой никогда не бывает скучно. И среди прочего наблюдал такую картину. Мама пекла шесть пирогов: сначала пирог с абрикосами (А), потом с брусникой (Б), с вишней (В), с грибами (Г), с джемом (Д) и с ежевикой (Е). Соблазнительные запахи пирогов привлекали детей – иногда они шумной гурьбой прибегали на кухню и каждый раз съедали самый горячий пирог. И пироги были такими вкусными, что гостям ничего не осталось!
И тут я задумался: а в каком порядке при таких условиях могут быть съедены все пироги?
Можете ли вы сказать, в каком порядке из указанных могут быть съедены все пироги: АБВГДЕ, ВБДГЕА, ГДЕБВА, АБДГВЕ, ЕДГВБА?
Ответ, как обычно, вы узнаете ниже.
Чтобы найти ответ, нужно разобрать каждую из предложенных здесь последовательностей. И сразу нужно обратить внимание на важное обстоятельство: дети вбегали на кухню иногда, а значит, они могли увидеть перед собой как один пирог, так и несколько, и во втором случае пироги имеют разную температуру.
Итак, рассмотрим вариант АБВГДЕ. Кажется, этот вариант возможен: достаточно, чтобы дети прибегали каждый раз, как мама доставала новый пирог из духовки. И таким образом дети съедят по очереди все пироги.
Теперь посмотрим на вариант ВБДГЕА. В этом случае дети первый раз вбежали на кухню, когда уже было готово три пирога – А, Б и В. Из этих пирогов самым горячим был В, чуть менее горячим был Б – дети их последовательно съели и убежали. Затем вбежали, когда уже были готовы пироги Г и Д, самым горячим из них был Д – дети съели его, а затем и пирог Г, после чего опять покинули кухню. Наконец, в третий раз дети вбежали, когда был готов пирог Е – дети тут же съели его. Ну и последним оставшимся пирогом остался А, а так как других пирогов больше нет, то мы можем считать его самым горячим. Так что этот вариант не противоречит условиям задачи.
Обратимся к варианту ГДЕБВА. Здесь рассуждения те же, что и в предыдущем случае. Дети впервые вбежали на кухню, когда было готово уже четыре пирога – А, Б, В и Г, съедают пирог Г, и удаляются. Затем дважды возвращаются – когда готовы пироги Д (съедают его и убегают), и Е. Но затем картина ломается. Остаются пироги А, Б и В (ведь пироги, испечённые позже, уже съедены, значит и эти пироги давно готовы), причём самым горячим из них является В, так что его дети и должны были съесть, но съели менее горячий пирог Б. Таким образом, последовательность ГДЕБВА невозможна при данных условиях задачи.
Посмотрим на вариант АБДГВЕ. Здесь тоже не возникает проблем: дети вбегают при появлении пирога А, съедают его, убегают, снова вбегают при появлении пирога Б и съедают его. В следующий раз вбегают, когда уже готовы пироги В, Г и Д, и съедают их по порядку падения температуры: Д, Г и В. И, наконец, дети возвращаются на кухню, когда готов пирог Е, и тут же съедают его.
Остался последний вариант – ЕДГВБА, и с ним всё очень просто. Здесь указаны все пироги в последовательности, обратной их приготовлению. То есть, дети вбежали на кухню лишь один раз – когда все пироги уже были готовы, и съели их в порядке снижения температуры.
Кстати, а сколько всего разных последовательностей можно получить из шести первых букв алфавита? Достаточно воспользоваться формулой числа перестановок, применяемой в комбинаторике: n!, то есть – факториал от числа элементов. Для 6 элементов число перестановок очень велико – 720! Так что можно проанализировать и множество других вариантов, но делать мы здесь этого уже не будем. Да и мама не готова 720 раз печь по 6 пирогов, чтобы дети позанимались комбинаторикой.