6149 подписчиков

Формулы приведения — страшная тригонометрия?

30 ноября 202330 ноя 2023

152

3 мин

Тригонометрия... Этот страшный термин пугает людей с 1595 года. Появился он в качестве названия книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса. Но сама наука использовалась ещё раньше, в самой далекой древности, когда нужно было производить расчеты в астрономии, архитектуре и геодезии. Тригонометрические вычисления пронизывают все области физики, геометри и любого другого инженерного дела. Тригонометрия везде... И в школе. И там её боятся... 😨 И мы сегодня поговорим с вами на одну страшную тему. Готовы? Там приведения будут... 👻 Но мои папищеки не из робкого десятка!

А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡

📐 Формулы приведения: стоит ли их заучивать или говорить учащимся выучить их наизусть?

Давайте начнем с того, что их много. Для всех популярных углов получается 32 формулы. Возможно ли их знать без понимания? Это возможно, но абсолютно не нужно и даже вредно. Инженерное мышление прежде всего основывается на умении решать задачи по общим принципам, на умении думать и находить решение. И уж точно НЕ на заучивании, лишенным всякого смысла. Для успешной работы с формулами приведения нам, во-первых, нужно побороть свой страх, а во-вторых необходимо выполнить парочку пунктов:

◼ Формулы связаны с «популярными» (табличными) углами. Именно к ним нужно сводить большие углы. Изначально учащиеся боятся углов, которые больше 360°. Всё нужно сводить к этим углам. Пользоваться мы должны периодичностью тригонометрических функций: f(x) = f(x + k⋅T), где k ∈ ℤ. Пример: sin(1830°) = sin(30° + 5⋅360°) = sin(30°) = 0.5. Вот ученики встречают полный оборот иии... уже хотя скорее забыть, что можно обнулиться и по факту 360° = 0°. Странная математика? Да нет, здесь всё в порядке. Просто мы имеем дело с периодическим процессом. И вот мы подходим плавно ко второму пункту...

◼ Всё, что нам нужно — понять тригонометрический круг, познать дзен тригонометрического круга. По сути этот круг представляет собой абстрактную модель траектории движения конца единичного радиус-вектора, который своим началом закреплен в начале координат (0; 0), а своим концом свободно вращается по окружности постоянного радиуса R = 1. Каждую точка P(x; y) на этой единичной окружности — это возможное положение конца радиус-вектора r. Координаты точки P(x; y) можно задать как с помощью декартовой системы координат, так и с помощью полярной системы координат. Но вторая есть ни что иное, как выражение x и y через модуль радиус-вектора r и угол поворота φ радиус-вектора. Угол отсчитывается от положительного направления оси OX. Угол может быть больше 360°, но каждому такому углу можно сопоставить остаток от деления на 360°, потому что каждый(!) полный поворот ситуация в точности(!) повторяется.

◼ Нам нужно узнать определения функций sin(φ), cos(φ), tan(φ). Ведь под определенным углом (даже таким большим как 1830°), мы можем представить точку, в которую показывает конец радиус-вектора, повернутого под этим углом. По этой точке мы всегда можем построить сам радиус-вектор (гипотенуза) и его проекции на rx — на ось OX, ry — на ось OY. И вот у нас прямоугольный треугольник, в котором обязательно есть гипотенуза r = 1 и угол φ = φ mod 360°. С этими данными, зная определения, легко найти нужные проекции, т.е. нужные sin(φ) или cos(φ). Знак такого синуса или косинуса определяется знаком проекции. Каждая проекция может быть отрицательной, т.к. лежит в диапазоне: -1⩽ rx, ry ⩽ +1. И последнее, что нужно помнить, так это то, что sin() соответствует проекции радиус-вектора на ось OY, а cos() соответствует проекции радиус-вектора на ось OX. Но вы это можете вывести и понять самостоятельно, если сделайте несколько рисунков на черновике.