Найти тему
Репетитор IT mentor

Олимпиадное неравенство и интересное решение

Оглавление

Привет, друзья! Сегодня продолжим тему олимпиадных задач по математике. Особенность таких задач в том, что их можно решить нетривиальным, ну или как минимум, не часто встречающимся способом. И вот такие способы отлично подчеркивают красоту математики. Кстати, будет очень здорово, если кто-нибудь из подписчиков предложит другой способ решения данной задачи. И да, речь сегодня пойдет о неравенствах.

А пока попрошу подписаться на канал в telegram IT mentor . Автор пишет краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡

Задача

Доказать неравенство |a³ + b³ + c³ - 3•a•b•c| (a² + b²+ c²)^(3/2) где a, b, c ∈ ℝ

Решение:

Можно рассмотреть три вектора с координатами:

-2

Левая часть исходного неравенства представляет собой модуль смешанного произведения данных векторов. Проверим это:

-3

В аналитической геометрии модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на заданных векторах:

-4

Это смешанное произведение равное объему параллелепипеда не может быть больше произведения длин трех векторов, на которых построен параллелепипед. Посмотрите на рисунок ниже.

-5

Высота, проведенная к основанию выражается через один из векторов:

-6

Тогда объем параллелепипеда можно вычислить по формуле:

-7

Ограничение сверху (неравенство) выполнено потому что в общем случае:

-8

А максимальный объем достигается у прямоугольного параллелепипеда:

-9

Итак, мы имеем неравенство:

-10

Хоть и компоненты векторов были взяты в разном порядке, но длины у них остались одинаковые:

-11

Получается, что:

-12

Краткое решение полностью

Вот такое вот решение компактное (но с подробными комментариями)
Вот такое вот решение компактное (но с подробными комментариями)

Ещё интересные разборы олимпиадных задач по математике

12 интересных математических задач с неравенствами

Интересная задача по физике на исследование неравенств

Сможете решить эту олимпиадную задачку по математике?

Сможете решить эту систему уравнений? ( Олимпиадная задача )

Удивила сложность олимпиадной задачи по математике за 1992 год

Найти площадь закрашенной фигуры: олимпиадная задача по математике (для школьников)

📚 На Дзен недавно появился интересный канал «Читающий Лингвист». Автор канала пишет замечательные рецензии на зарубежную литературу, рассказывает о прочитанном и делает заметки на околокнижные лингвистические наблюдения.

Советую подписаться на этот авторский канал «Читающего Лингвиста»

Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram