Привет, друзья! Сегодня продолжим тему олимпиадных задач по математике. Особенность таких задач в том, что их можно решить нетривиальным, ну или как минимум, не часто встречающимся способом. И вот такие способы отлично подчеркивают красоту математики. Кстати, будет очень здорово, если кто-нибудь из подписчиков предложит другой способ решения данной задачи. И да, речь сегодня пойдет о неравенствах.
А пока попрошу подписаться на канал в telegram IT mentor . Автор пишет краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡
Задача
Доказать неравенство |a³ + b³ + c³ - 3•a•b•c| ⩽ (a² + b²+ c²)^(3/2) где a, b, c ∈ ℝ
Решение:
Можно рассмотреть три вектора с координатами:
Левая часть исходного неравенства представляет собой модуль смешанного произведения данных векторов. Проверим это:
В аналитической геометрии модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на заданных векторах:
Это смешанное произведение равное объему параллелепипеда не может быть больше произведения длин трех векторов, на которых построен параллелепипед. Посмотрите на рисунок ниже.
Высота, проведенная к основанию выражается через один из векторов:
Тогда объем параллелепипеда можно вычислить по формуле:
Ограничение сверху (неравенство) выполнено потому что в общем случае:
А максимальный объем достигается у прямоугольного параллелепипеда:
Итак, мы имеем неравенство:
Хоть и компоненты векторов были взяты в разном порядке, но длины у них остались одинаковые:
Получается, что:
Краткое решение полностью
Ещё интересные разборы олимпиадных задач по математике
12 интересных математических задач с неравенствами
Интересная задача по физике на исследование неравенств
Сможете решить эту олимпиадную задачку по математике?
Сможете решить эту систему уравнений? ( Олимпиадная задача )
Удивила сложность олимпиадной задачи по математике за 1992 год
Найти площадь закрашенной фигуры: олимпиадная задача по математике (для школьников)
📚 На Дзен недавно появился интересный канал «Читающий Лингвист». Автор канала пишет замечательные рецензии на зарубежную литературу, рассказывает о прочитанном и делает заметки на околокнижные лингвистические наблюдения.
Советую подписаться на этот авторский канал «Читающего Лингвиста»
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram