Случилась неделю назад забавная история. Начитался товарищ премьер-министр России проективной геометрии и пошел в лицей, чтоб показать кто тут папа. Задал геометрическую задачку учащимся физтех-лицея имени П. Л. Капицы. Ну а те её с треском провалили. Задача действительно интересная. А у нас в России действительно проблемы с математическим образованием в школе. Вспоминая свои школьные годы (тоже в физмат лицее), я хочу отметить тот факт, что мы не так уж и часто разбирали такие полезные задачи, особенно по геометрии. Хотя преподаватель у нас была очень хорошая, умная женщина. К большому сожалению, в современных школах/лицеях не решают такие задачи, а только натаскивают на первые задачи из ЕГЭ.
Короче, к задачке...
УСЛОВИЕ: Дана окружность диаметром АВ. На этой окружности отмечена произвольная точка С.
НЕОБХОДИМО построить из точки С перпендикуляр на диаметр АВ пользуясь ТОЛЬКО линейкой без делений и прямых углов (с помощью линейки можно проводить только прямые линии)
Решение:
Давайте ещё разок обратим внимание на то, что ЦИРКУЛЕМ пользоваться НЕЛЬЗЯ (!). В противном случае задача была бы очень простой. В нашем распоряжении только линейка без деление. Всё что мы можем - проводить прямые линии, отмечать точки, соединять их снова, пользоваться теоремами геометрии.
Построение 1: Проведем прямую AB и прямую BC. Полученный треугольник является прямоугольным, т.к. одна из сторон (гипотенуза) лежит на его диаметре. ∡ACB = 90°.
Построение 2: Выбираем произвольную точку D на окружности. Проводим прямую AD до пересечения с прямой BC в точке K. Треугольник △ADB - прямоугольный, т.к. сторона AB - диаметр. Поэтому угол ∡ADB = 90°. Отсюда следует, что точка O является точкой пересечения всех высот треугольника △AKB.
Построение 3: В треугольнике △AKB опускаем соединяем прямой точки K и O. При этом прямая KO пересекает окружность сверху в точке L, снизу в точке N, а диаметр AB - пересекает в точке M. КМ является высотой в треугольнике △AKB. Поэтому отрезок LN ⟂ AB. Тогда точка M - середина отрезка LN.
Построение 4: Через точки L и C проводим прямую LC, которая пересекает продолжение диаметра AB в точке R.
Построение 5: Соединяем прямой точке N и R. Прямая NR пересекает окружность в точке P. В треугольнике △LRN : M - cередина NL, MR ⟂ LN, поэтому △LRN - равнобедренный. Отсюда следует, что ∡NLC = ∡LNP = α. LCPN - четырехугольник, который вписан в окружность. Поэтому сумма противоположных углов там равна 180°.
Имеем ∡NPC + α = 180° и ∡LCP + α = 180° тогда ∡NPC + α = ∡LCP + α, откуда следует, что ∡NPC = ∡LCP. Отсюда следует, что LCPN - равнобедренная трапеция, а значит PC || LN. Но так как LN ⟂ AB, то и PC ⟂ AB. Таким образом, PC - искомый перпендикуляр, построенный из произвольной точки C окружности к диаметру AB этой же окружности только с помощью линейки.
Что нужно повторить для решения:
1. Свойства вписанных в окружность треугольников и четырехугольников
2. Вписанные и центральные углы
3. Признаки равенства треугольников
4. Серединные перпендикуляры и свойства равнобедренных треугольников.
5. Точки пересечения высот, медиан, биссектрис.
6. Свойства трапеций, как частных случаев четырехугольников.
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram