Друзья, сегодня в VK-беседе для физиков, математиков и разработчиков замечательного проекта Physics.Math.Code один из участников предложил очень интересную геометрическую задачку. Думаю, что её вполне можно задавать студентам первых курсов в контексте аналитической геометрии на плоскости. И сегодня мы с вами её разберем. Погнали :)
Задача
К точке M, лежащей в плоскости треугольника △ABC, приложены три ненулевых вектора x, y, z, направленных по лучам MA, MB, MC, причем сумма этих векторов равна нулю. Найти отношение модулей этих векторов |x| : |y| : |z|, если точка M является центром окружности, описанной около треугольника △ABC.
Рассуждение о задаче:
Что ж, задачка и правда интересная... Как к ней можно подступиться? Проецироваться вектора? Вспомнить теорему синусов? Попробовать расписать площади через векторное произведение каждой пары векторов? Использовать скалярные произведения? Или же всё может быть проще... Давайте разбираться.
Рисунок к задаче:
Решение:
Все три вектора компенсируют друг друга. Поэтому, если бы это были силы, приложенные к точке M, то их равнодействующая была бы равна 0. Что и показано на рисунке к задаче.
Обозначим α, β, γ – углы между векторами x и y, x и z, y и z соответственно.
В любой момент мы легко сможем перейти к углам треугольника △ABC, вспомнив свойства вписанных и центральных углов:
α = 2 ∡ACB, β = 2 ∡ABC, γ = 2 ∡BAC
Итак x + y + z = 0 (векторно), отсюда, последовательно проецируя на направления данных векторов, получим скалярные выражения:
Подставим выражение для z из третьего уравнения в первые два:
Далее будем последовательно упрощать, разделяя слагаемые с одинаковыми переменными по разным сторонам:
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и группировкой. Также вспомним, что сумма всех углов между заданными векторами равна 360 градусов: α + β + γ = 2π. Это дает нам возможность выразить угол α через другие два угла и расписать косинус суммы углов, согласно формулам тригонометрии:
После сокращения подобных слагаемых и упрощения получим:
Первые два уравнения получились эквивалентными и выражают отношение модулей векторов x и y. Выразим также x через y и попытаемся найти отношение z и y из третьего уравнения :
Теперь мы получили все соотношения для модулей векторов:
Задача решена. А в моем канале telegram вы сможете найти ещё полезные заметки и лайфхаки, которых нет и не будет на Дзен и в VK:
А какие еще интересные задачи вы знаете по геометрии ? Напишите о них в комментариях.
Понравился разбор задачи ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram