В этой заметке немного повторим геометрию. Задачка с простой формулировкой, но неочевидным решением, если вы забыли некоторые теоремы геометрии...
Задача
Двугранный угол равен φ. Найти расстояние от точки M, не лежащей на плоскостях двугранного угла, до ребра двугранного угла, если расстояние от М до одной грани равно a, а до другой грани равно b.
Решение:
Для начала к задаче сделаем рисунок в пространстве, чтобы примерно понимать что нам дано. Выглядеть это будет следующим образом:
Далее положим, что мы вполне можем нарисовать вид «сбоку» двугранного угла, что даст нам возможность рассматривать задачу на плоскости, то есть в контексте линейного угла, соответствующего двугранному. Получить этот линейный угол можно в качестве сечения двугранного угла любой плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.
Перемещая угол нашего зрения перпендикулярно ребру, начертим плоский рисунок к этой задаче для удобства дальнейшего решения и изображения необходимых дополнительных построений.
Итак, нам даны BM = a, MC = b и ∡BAC = φ. Нам нужно найти AM = d = ?
Отметим, что BM ⊥ AB и MC ⊥ AC. Тогда ∡ABM = ∡ACM = 90°. Сумма этих углов получается 180°. Вспоминаем теорему о том, что сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам. Отсюда следует, что ∡BAC + ∡BMC = 180° (так как их сумму можно получить, если из 360° вычесть сумму двух прямых углов ∡ABM + ∡ACM, которая равна 180°).
Вспоминаем еще одну теорему для нашего четырехугольника ABMC.
Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
Значит вокруг нашего четырехугольник строим окружность с центром в точке О. При этом точка O лежит на отрезке AM = d и делит его пополам. Это можно понять, если вспомнить, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы. А также увидеть, что отрезком AM наш четырехугольник делится на два прямоугольных треугольника: △ABM и △AMC с общей гипотенузой AM. Поэтому центр описанной около четырехугольника окружности есть середина AM = d.
Нам нужно найти AM = d. Из окружности следует, что d = 2•R, где R - радиус описанной окружности.
Что нам поможет найти это d ? Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а коэффициент пропорциональности равен 2•R.
У нас есть φ и лежащая напротив него сторона BC в треугольнике △ABC.
По теореме синусов BC / sinφ = 2•R.
Таким образом, для решения нам необходимо найти BC.
Найдем BC из треугольника △BMC:
В нем угол ∡BMC = 180° - ∡BAC = 180° - φ. BM = a, MC = b.
В общем случае, a ≠ b, поэтому используем теорему косинусов для нахождения стороны BC:
BC² = BM² + MC² - 2•BM•MC•cos∡BMC
или можем переписать так:
BC² = a² + b² - 2•a•b•cos(180° - φ) или BC² = a² + b² + 2•a•b•cos(φ)
BC = √(a² + b² + 2•a•b•cos(φ))
Тогда расстояние между точкой M и ребром двугранного угла в общем случае будет таким: d = 2•R = BC / sinφ = √(a² + b² + 2•a•b•cos(φ)) / sinφ
Краткое математическое решение
Понравилась задачка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram