Для многих математических вычислений, как в математическом анализе, так и в дискретной математике полезно знать ограничения, накладываемые на некоторые функции и величины. Например, для программистов полезно разбираться в алгоритмах. А значит нужно определять верхние и нижние границы поведения каких-либо выражений. В этой заметке поговорим о неравенствах, которые встречаются в школьной математике.
Ох уж эти странные средние...
Задача 0. Среднее арифметическое двух положительных чисел всегда больше либо равно их среднему геометрическому (простейшая форма неравенства Коши)
Проще всего будет рассмотреть случай для двух переменных. Для наглядности нужно начинать с простого. Это можно доказать аналитически. Представим, что есть два неотрицательных числа a и b, обоснуем, что их среднее арифметическое всегда больше их среднего геометрического.
Данное неравенство можно доказать и геометрически. Получается довольно красиво. Если построить окружность диаметром a + b, тогда радиус R будет как раз совпадать со средним арифметическим чисел. Если же взять на окружности любую точку и построить к ней высоту h, а также учесть подобие треугольников (розового и желтого по рисунку), то данная высота будет средним геометрическим. А по рисунку видно, что для любой точки высота h не сможет превысить радиус R. Что и требовалось доказать.
Конечно же одним частным случаем нельзя ограничиваться. Наше неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом принадлежит к целому блоку, который называется...
Неравенства о средних или неравенства Коши
Допустим, все числа отсортированы по возрастанию, тогда получается, что: x₁ = min(x₁, x₂, ..., xₙ) и xₙ = max(x₁, x₂, ..., xₙ)
Доказательство того, что среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического для чисел, количество которых является степенью 2
Доказательство можно провести также через индукцию
Доказательство с шагом индукции -1 (индуктивное доказательство вниз)
Мы доказали, что если наше наше неравенство верно для n = k, то неравество также выполняется для всех четных значениях n = 2k и для всех предыдущих значениях n = k - 1. А это значит, что неравенство Коши соотношение среднего арифметического и среднего геометрического верно для всех n. Аналогично (по индукции) можно доказать и другие соотношения.
Практика решения задач
Теперь давайте порешаем задачи с интересными школьными неравенствами.
Задача 1. Простейшее, но популярное соотношение
Доказать, что t + 1/t ⩾ 2 для любого положительного t > 0
Задача 2. Интересное практическое задание из учебника по алгебре для 8 класса:
Доказать справедливость неравенства (a + b)(b + c)(a + c) ⩾ 8•a•b•c
Данное неравенство можно также доказать, используя неравенство Коши:
Задача 3. Неравенство на базе геометрии треугольника
Докажите нервенство P/a + P/b + P/c ⩾ 9, где a, b, c - стороны и P - периметр треугольника.
Решение:
Задача 4. Еще одна задачка, использующая доказанное нами ранее неравенство
Доказать, что a⋅b⋅(a + b - 2⋅c) + b⋅c⋅(b + c - 2⋅a) + a⋅c⋅(a + c - 2⋅b) > 0, где a>0, b>0, c>0.
Задача 5. Надо что-нибудь поинтереснее, например, со степенями..
Доказать, что если a + b = 1, то имеет место неравенство a⁸ + b⁸ ⩾ 1/128
Задача 6. Что больше exp(e)×π^π или exp(2π) ? Хороший вопрос, не правда ли? Так сразу и не скажешь :)
Задача 7. А что если у нас будут логарифмы и суммы с неизвестным количеством слагаемых? Это вас напугает? :)
Доказать, что lg(n+1) > (lg1 + lg2 + ... +lgn) / n
Задача 8. Еще немного сумм и факториалов в неравенствах...
Докажите, что для любого натурального числа n выполняется неравенство: 1/1! + 1/2! + 1/3! +...+ 1/n! ≤ (2n-1)/n
Задача 9.
Пусть a₁² , a₂² , a₃² ,..., an² — квадраты n различных натуральных чисел. Докажите, что (1-a₁²)⋅(1- a₂²)⋅(1 - a₃²)⋅...⋅(1 - an²) > 1/2
Задача 10. Типичная олимпиадная задача, когда числа совпадают с годом олимпиады...
Доказать, что 2013^2015 ⋅ 2015^2013 < 2014^(2⋅2014)
Задача 11. Рассмотрим кое-что посложнее?
Даны положительные числа a₁ , a₂ , a₃ ,..., an. Известно, что их сумма меньше либо равна 1/2. Докажите, что (1+a₁)⋅(1+a₂)⋅(1+a₃)⋅...⋅(1+an)<2
Заметим, что данную задачу можно решить методом математической индукции (попробуйте сделать это самостоятельно, можете написать в комментариях решение). А еще стоит обратить внимание на то, как часто используется геометрическая прогрессия для анализа рядов, неравенств, последовательностей, а следовательно и алгоритмов дискретной математики. Кто-то еще сомневается, что школьная математика не нужна программистам? :) Разве что тем программистам, которые старательно избегают собственной реализации алгоритмов и не хотят исследовать теорию.
Задача 12. И последняя задача по неравенствам на сегодня. Доказать неравенство Бернулли:
( 1 + a )ⁿ ⩾ 1 + n⋅a , где a > -1 , n - натуральное число.
Задачи для самостоятельного решения
На этом закончу данную статью. Надеюсь, что Вам было интересно! Если да, то проявите активность комментариях!
Понравилась заметка ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram
