Вы любите задачи с нахождением площадей? Да я знаю что любите. Зрительные задачи всегда вызывают интерес. Особенно красивое математическое решение. Ну или хотя бы попытка сделать его красивым. Ведь наши вкусы так субъективны.
Представляю вашему вниманию очередную очень интересную математическую (геометрическую) задачу:
Задание:
Дан квадрат со стороной 1. В него вписана окружность, в которую рекурсивно вписан точно такой же квадрат. Вложенность идет до бесконечности. Найти площадь закрашенной области, полученной рекурсивным пересечением данных фигур.
Остановите дальнейшее чтение статьи на этом моменте и подумайте самостоятельно. Возьмите черновик с карандашом в руки, набросайте решение. А в комментариях расскажите об ответе, который у вас получился, а так о времени, которое заняло решение.
Если же вы не знаете как подступиться к решению, то далее будет подробный разбор самым простым (как мне кажется) методом.
Решение:
Для решения данной задачи достаточно только школьных знаний. Разумеется, никто не запрещает пойти каким-то более сложным или более изящным путем, используя средства высшей математики, математического анализа. Если у вас будет такое решение, то обязательно поделитесь им в комментариях к данной статье. Задача совсем недавно стала блуждать по русскоязычному интернету. Как только я на неё наткнулся, мне сразу стало интересно её разобрать.
1. Для начала подумаем как посчитать площадь текущей закрашенной области текущей вложенности, например, ориентируясь на самый крупный (внешний) квадрат и ближайший вписанный в него круг. Обозначим за a - сторону квадрата, за r - радиус вписанного круга. Сделать это можно так:
2. Теперь определим связь сторон квадрата для двух соседних вложенностей ( секций ):
3. Теперь посмотрим на связь площадей двух соседних вложенностей: внешней и внутренней:
4. Наши площади выбраны произвольно. Если мы возьмем любые другие, то их отношение будет таким же, площадь внутренней секции будет в половину меньше площади внешней секции. Теперь у нас получается, что все фрактально вложенные площади образуют убывающую геометрическую прогрессию:
5. А теперь мы просто применяем это к нашей задаче. При этом мы даже избегаем символов суммирования с бесконечной суммой. Мы четко знаем формулу для убывающей геометрической прогрессии, сумма которой даже на бесконечности имеет ясный предел. Поэтому:
Ответ: 2 - π/2.
Решение полностью:
Другие олимпиадные задачки и их разборы:
Найти площадь закрашенной фигуры: олимпиадная задача по геометрии (для школьников)
Интересная олимпиадная задача по геометрии
Геометрическая задача от экономистов Стэнфордского университета
Задача по физике из олимпиады для 7-8 класса
Задача по математике, которая заставит вас подумать
Школьная задача по физике (гидростатике), которую не каждый решит
7 самых сложных задач по математике для 5-го класса
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram