Привет, мои дорогие читатели! Сегодня легкая заметка, немного истории, немного фактов, немного математики... Куда же без математики на этом канале? :) Поэтому бокал кофе за неё, любимую и непостижимую! ☕
Интересный топологический фокус, называемый бутылем Клейна, был выпущен небольшой партией в Калифорнии. Это близкий родственник более знаменитой ленты Мебиуса. Бутыль Клейна была изобретена в 19 веке немецким математиком и геометром Феликсом Клейном. Примечательна эта абстракция тем, что представляет собой объемную фигуру, ограниченную односторонней поверхностью.
Если две зеркальные ленты Мебиуса (правовинтовая и левовинтовая закрутка) расширить около нижней петли, затем завернуть и склеить вместе, то получится бутылка Клейна. Это довольно трудно представить. Но я попытаюсь нарисовать это. Помните главное правило математики? Рисуйте, чтобы понять!
Обратите внимание, что во время преобразований мы не изменяли топологию объектов.
У полученного сосуда много удивительных свойств. В него легко налить воду, но вылить уже проблематично, ибо придется вытряхивать. Жучок, ползающий по внешней части такой бутылки, сможет легко и незаметно для себя оказаться во внутренней части, при этом не пересекая при этом никакого излома поверхности.
А вот и реальная фотография разрезанной бутылки...
Еще несколько визуализаций и красивых примеров можно почитать здесь: On the number of Klein bottle types.pdf
Вы можете провести интересный эксперимент. Вырежьте из листа А4 две полоски. У первой склейте два конца в обычное кольцо, а во втором случае один конец прикрейте к другому после перекрутки конца на 180 градусов. Получится два кольца: лента Мебиуса и обычное кольцо. Если разрезать второе, то получится два кольца. А если разрезать ленту Мебиуса, то получатся две ленты, при этом каждая будет перекручена два раза... Интересно, не правда ли? Попробуйте это представить. А что будет, если разрезать несколько раз?
Мы привыкли к тому, что у каждой поверхности – например, у листа бумаги, у футбольной или велосипедной камеры – две стороны. Ясно, что перейти с одной стороны на другую можно, только если каким-то образом перейти через край либо пройти сквозь поверхность. Если свернуть полоску бумаги в кольцо и склеить концы, то она, как была двусторонней, так и останется. Но если при склеивании сделать полуоборот конца на 180 градусов, то поверхность сразу превращается в одностороннюю. Потому что переход мы делаем плавным. А точнее – вообще избавляемся от перехода и понятия двух поверхностей.
«Ленту Мебиуса» независимо друг от друга открыли два немецких математика – Август Фердинанд Мебиус и Иоганн Бенедикт Листинг, описавшие его в 1862–1865 годах.
Итак, если путешествовать по листу Мёбиуса, то можно побывать с обеих сторон полоски, даже если нигде не пересекать край. Поэтому и говорят, что у листа одна сторона. Также как и у бутылки Клейна. Если начать красить одну из сторон, то выкрашенным окажется весь лист (или бутылка), даже если мы не переходим через край.
Вопрос к читателю: может ли двумерное существо, живущее на поверхности без толщины и способное передвигаться на ней, обнаружить, двусторонняя его поверхность или одностороняя? 🙃
Если поверхность двусторонняя (например: обычное кольцо), то после обхода по ней существо попадает в ту же точку. А если перед нами лист Мебиуса, то обойдя круг, существо оказывается в зеркально симметричном положении. Только сможет ли существо понять когда именно оно прошло ровно один круг...
Есть такая интересная задача
Имеются три домика и три колодца. Можно ли проложить тропинки от каждого домика к каждому колодцу (то есть всего 3 домика * 3 колодца = 9 тропинок) таким образом, чтобы эти тропинки не пересекались? Попробуйте-ка это сделать!
Не получается? Это действительно невозможно. 8 тропинок еще удается проложить, а девятую совершенно негде... Вы спросите: при чем здесь эта задача и тема статьи? Оказывается, что на листе Мебиуса задача имеет решение! Попробуйте его найти!
Лист Мебиуса – это односторонняя поверхность с краем. А существуют ли односторонние поверхности без края (двусторонними поверхностями без края являются, например, сфера или тор)? Да.
Бутылка Клейна – безкрайняя поверхность, которая может пересекать сама себя в трехмерном пространстве.
Итак, поверхность может быть односторонней и двусторонней. Простой пример модели односторонней поверхности — лист Мёбиуса, который получается, если взять узкую длинную полоску бумаги и склеить её узкие торцы, перекрутив полоску один раз. В том, что у полученной поверхности одна сторона, можно убедиться, если начать закрашивать её в какой-нибудь цвет, не отрывая кисть от бумаги и не пересекая границ. В результате будет окрашен весь лист Мёбиуса.
Поверхность называется гладкой , если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно меняющаяся вдоль поверхности. Поверхность называется кусочно-гладкой , если она состоит из нескольких гладких частей, примыкающим друг к другу по гладким или кусочно- гладким кривым. Так, плоскость - гладкая поверхность; поверхность куба — кусочно-гладка.
Немного строгих определений
Дадим формальное определение односторонней и двусторонней поверхностей. Пусть дана гладкая поверхность σ, и на ней произвольно выбрана точка M . Из двух возможных направлений нормали в этой точке выберем одно и зафиксируем его. Характеризовать это направление будем единичным вектором нормали n¯(M). Возьмём замкнутый контур C , проходящий через точку M , целиком лежащий в σ и не пересекающий её границы, и будем двигаться по контуру, восстанавливая в каждой точке нормаль так, чтобы она непрерывно получалось из n¯(M). Если для любого такого контура и любой точки М мы вернёмся в М с исходным направлением нормали, то поверхность σ называется двусторонней. Если хотя бы для одного контура мы вернёмся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то поверхность называется односторонней.
Задать ориентацию поверхности { выбрать определённую сторону поверхности } означает выбрать в каждой точке σ один из двух возможных векторов нормали n¯(M) так, чтобы он непрерывно менялся от точки к точке. Для этого достаточно определить нормаль n¯(M0) в какой-либо одной точке M0 ∈ σ ; во всех остальных точках M направления нормали n¯(M) должны браться так, чтобы они получались непрерывным переносом из n¯(M) вдоль какого-нибудь пути M0 ∪ M. Согласно определению двусторонней поверхности, мы гарантированно придём в точку M с одним и тем же направлением нормали при любом пути M0 ∪ M.
Односторонние поверхности фигурируют во многих произведениях литературы и искусства, например, на скульптуре Макса Билла.
Лист Мебиуса изображен на ряде эмблем, связанных с математикой, в том числе на значке механико-математического факультета МГУ.
Понравилась заметка ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов Репетитор IT mentor в telegram