Вы скучали по задачам с параметрами? Если скучали и нужно больше таких разборов, то напишите об этом в комментариях. А в этой заметке мы разберем очередную задачку, связанную с параметрическим тригонометрическим уравнением. Честно сказать, очень не любил задачи с параметрами в школьные годы. Разбирались они редко, поэтому казались очень сложными. Но со временем, работая в области образования, приходилось часто разбирать задачи подобного типа. И если сказать очень кратко, то для решения вы должны:
1. Смотреть внимательно на функции, хорошо знать как себя ведут их графики.
2. Знать формулы из элементарной алгебры и тригонометрии, чтобы вы могли делать какие-то преобразования, которые бы упрощали исходные уравнения.
3. Знать область определения функций и следить за граничными условиями.
4. Помнить большую часть математической теории с 5-го по 11-й класс, потому что параметрические уравнения (например из профильного ЕГЭ) могут включать в себя всю теорию за старшие классы.
Остальное — дело постоянной практики. Итак, приступаем...
Задача
Найти решения уравнения, при которых параметр y имеет хотя бы одно действительное значение:
12 ∙ sin²(x) ∙ (1 - 2∙sin²(x)) + (10∙y - 11)∙cos(2∙x) = (2∙y - 1)
Решение:
Шаг 1. Вспомним формулу понижения степени через косинус двойного угла. Она нам поможет в дальнейшем упростить наше уравнение.
Шаг 2. Упростим наше уравнение с помощью эквивалентных преобразований
Шаг 3. В результате данных манипуляций мы имеем квадратное уравнение относительное выражения (2∙y - 1). Сделаем замену переменных t = 2∙y - 1. Посчитаем дискриминант нашего квадратного уравнения. Внимательно посмотрев на выражение для дискриминанта D = cos²(2x), становится понятно D ≥ 0 при любых значения x. Поэтому все решения для x у нас получаются только действительные. А так как x связан с переменной t, которая линейно связана с параметром y, то значения параметра y тоже будут получаться действительными для любых решений x. Рассмотрим два случая: D = 0 и D ≥ 0:
Шаг 4. В нашем уравнении, в силу периодичности тригонометрических функций, получается бесконечно много решений вида x = π/4 + (π/2)∙k , где k ∈ ℤ для случая, когда D = 0 и y = 1/2. А также уравнение решается при любых x ∈ ℝ при y = (2∙cos(2x) + 1)/ 2 и y = (3∙cos(2x) + 1)/ 2. Выполняя проверку, убедимся в том, что мы приходим к такому же ответу:
Ответ: при параметре y = 1/2 уравнение имеет действительные корни, которые описываются выражением x = π/4 + (π/2)∙k , где k ∈ ℤ. А также уравнение решается при любых x ∈ ℝ при y = (2∙cos(2x) + 1)/ 2 и y = (3∙cos(2x) + 1)/ 2
Понравилась заметка? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram