Друзья, приветствую вас в очередной заметке репетитора. Сегодня речь пойдет о последней задаче из ВПР (Всероссийская проверочная работа) по математике. Хоть и не очень углубленно, но всё же наша сегодняшняя задача будет связана с теорией чисел. А потому она вызывает трудности у 8 - 11 классов.
Повод для статьи вызван тем, что мне не нравится, как такие задачи разбирают в интернете на популярных сайтах вроде РЕШУ-ЕГЭ. Проблема этих разборов заключается в следующем. Если человек не знает как решать задачу, то он не поймет по тем разборам. А если человек знает как решать задачу, то для него эти разборы, где пропускается куча действий с излюбленной фразой «очевидно что...», бесполезны.
Постараемся разобрать её максимально подробно, чтобы задача была понятна, прежде всего, любому 8-класснику.
Задача
Сумма ста натуральных чисел равна 5000. Все эти числа разбили на три группы, причём во всех группах разное количество чисел. Известно, что:
— в первой группе 29 чисел, их среднее арифметическое равно 21;
— среднее арифметическое чисел второй группы равно 50;
— среднее арифметическое чисел третьей группы – целое число.
Найдите количество чисел в третьей группе.
Решение:
Шаг 1. Стоит заметить, что всего у нас 100 чисел на 3 группы, поэтому можно записать N₁ + N₂ + N₃ = 100. И так как задано количество чисел в первой группе, то можно оценить суммарное количество чисел в двух других: N₁ = 29 ⇒ N₂ + N₃ = 100 - N₁ = 100 - 29 = 71.
Шаг 2. Наша последовательность чисел не обязательно должна образовывать какую-либо прогрессию, как может показаться. Это может сумма из любых 100 натуральных чисел. Сумму можно представить следующим образом:
Шаг 3. Теперь поговорим о средних арифметических в каждой из групп.
Шаг 4. Среднее арифметическое всех чисел получается
Это совпадает со средним арифметическим чисел из второй группы. Тогда можно предположить, что среднее арифметическое чисел первой и третьей группы тоже должно дать 50. Докажем это.
С учетом шага 3, можно написать
Подставляя это в выражении выше, получим
Шаг 5. Другими словами:
Расписываем это выражение:
И последовательно упрощаем:
Все числа слева и справа у нас натуральные. Поэтому возможны только 3 ситуации:
1 ситуация невозможна, так как в ней получается, что N₁ = N₃ , что противоречит условию разного количества чисел в группах.
2 ситуация невозможна, потому что в третьей группе количество чисел превосходит все числа в сумме, ибо 29∙29 > 100.
3 ситуация подходит, так как не противоречит условиям задачи.
Тогда в третьей группе одно число: N₃ = 1. Задача решена.
Практика, пример, проверка теории
Такие задачки довольно трудно воспринимать, когда кругом одни переменные. Давайте включим в наш разбор еще немного практики :)
Практический пример, иллюстрирующей зависимости между средними арифметическими:
Допустим есть сумма чисел от 1 до 11 (арифметическая прогрессия для простоты):
Тогда общее среднее арифметическое можно посчитать по формуле:
Также можно посчитать среднее арифметическое для всех групп:
Аналогично, если среднее арифметическое второй группы совпадает со средним арифметическим всех чисел, и равно 6, то среднее арифметическое первой и третьей групп будет тоже 6:
Очень надеюсь, что теперь решение задачи стало максимально прозрачным.
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram