Привет, мои любимые читатели! Сегодня вспомним математический анализ, потренируемся решать классические диффуры, пугающие студентов второго курса физ-мата.
Основная ошибка при решении такого дифференциального уравнения связана с тем, что 95% людей будут искать частное решение в виде правой части, т.е. в виде линейной функции y = A⋅x + B. Но тогда первая производная получается y' = A, вторая производная y'' = 0, а при подстановке мы получаем A = x, что странно, ведь мы должны получить тождество, а его нет. Не всё так просто. В этой статье мы разберемся что именно пошло не так в данных рассуждениях.
А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡
❓ А пока задам вопрос самым внимательным читателям. В каких задачах по физике может появиться такой вид дифференциального уравнения? Напишите ваши мысли в комментариях.
📝 Сразу к делу и к условию...
Не знаю откуда задача, но в оригинале условие на английском. Я сделаю перевод.
Task: Verify that the given function is a particular solution to the specified nonhomogeneous equation. Find the general solution and evaluate its arbitrary constants to find the unique solution satisfying the equation and given initial conditions.
Задача
Убедитесь, что данная функция является частным решением указанного неоднородного уравнения. Найдите общее решение и вычислите его произвольные константы, чтобы найти единственное решение, удовлетворяющее уравнению и заданным начальным условиям.
🕑 Остановитесь на этом месте, возьмите черновик и попробуйте быстро решить эту задачу без посторонней помощи... 📝
Решение:
Найдем общее решение ЛОДУ (линейного однородного дифференциального уравнения) y'' + y' = x. Характеристическое уравнение k² + k = 0 имеет два корня k₁ = 0 и k₂ = -1. Значит общее решение:
Если исходное уравнение имеет общий вид
то частное решение нужно искать в виде
где r - число, равное кратности α как корня характеристического уравнения k² + p⋅k + q = 0 (т.е. r - число, показывающее, сколько раз α встречается среди корней уравнения k² + p⋅k + q = 0 , а Qₙ(x) - полином степени n, записанный с неопределенными коэффициентами.
Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть f(x) = x = x⋅exp[0⋅x] есть формула вида P₁(x)⋅exp[0⋅x], причем α является корнем корнем характеристического уравнения и встречается там один раз, т.к. α = k₁ .
Тогда частное решение ищем в виде:
Подставляя в исходного уравнение, получим 2⋅A + 2⋅A⋅x + B = x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получем систему уравнений:
Применяя начальные условия, получим:
Если кому-то интересно посмотреть график функции решения данного ДУ:
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram