Еще до изобретения логарифмов, когда по планете ходили мамонты и интернет не засоряли своими глупыми статейками блохеры-репетиторы вроде меня, люди использовали справочные таблицы и некоторые лайфхаки для быстрого умножения чисел. Сложное (по тем временам) умножение можно было заменить сложением и вычитанием. Устройство таких таблиц было основано на тождестве:
Ускорение математических выкладок математикам понадобилось давно. И если иметь готовые четверти квадратов, то можно находить произведение двух чисел без как такового умножения. Можно вычитать из четверти квадрата сумму четверть квадрата разности исходных чисел.
Эта же таблица может помочь в возведении в квадарат и извлечении квадратного корня. Если к ней добавить таблицу обратных чисел, то также упрощается деление двух чисел. Но откуда появились эти таблицы? Сейчас об этом поговорим.
А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡
Такие таблицы давали преимущество над логарифмами в том, что результаты были точные, а не приближенные. Однако, эти первые таблицы четвертей квадратов уступали логарифмическим таблицам в более важных аспектах.
Таблицы четвертей квадратов дают возможность перемножать два числа, а та логарифмы дают возможность находить произведение любого числа множителей, а еще возводить в любую степень и извлекать корни с любым показателем, как целым, так и дробным. А ведь уже в те далекие времена нужно было вычислять сложные проценты.
Тем не менее, не все знали тогда о появлении логарифмов. И в 1856 году во Франции вышли таблицы с заголовком:
"Таблица квадратов чисел от 1 до 1000 миллионов, помощью которой находят точное произведение чисел весьма простым приемом, более удобным, чем помощью логарифмов. Составил Александр Коссар".
Появлялись также другие сводные таблицы, содержащие: квадраты чисел, кубы, квадратные корни, кубические корни, обратные числа, длины окружности и площади кругов для чисел от 2 до 1000. Для многих технических расчетов таблицы были очень удобны, однако они не всегда достаточны; логарифмические имеют гораздо более обширную область применения.
Определение
Логарифмом числа N по основанию a называется показатель степени x, в которую нужно возвести a, чтобы получить число N.
Еще один забавный историчеческий факт состоял в том, что множество составителей было уверено в необходимости таблиц логарифмов с 7-значными значениями. Когда на практике используют 3-4 знака после запятой (в мантиссе числа). Вы представляете какой огромный рутинный труд был у составителей этих таблиц? А сейчас многие школьники впадают в депрессию от того, что им нужно в номере из подробного учебника целых 6 примерно одинаковых пунктов сделать. Эх, времена...
Осознанное укорочение мантисс привело к уменьшанию объема таблиц, ускорению вычислений.
Когда логарифмы были открыты и первые их свойства стали известны, математики поняли, что их можно вычислять рекурсивно. Такие расчеты дают неплохие оценки и маленькие погрешности. Важно следить за тем, чтобы всё выполнялось для логарифмов, которые дают целочисленные значения.
Пример выше написан для десятичного логарифма. И самая привычная для людей система счисления тоже десятичная. Логарифмы по основанию 10 (обозначение lg(a) ) ранее широко применялись для вычислений. Это связано с тем, что если а = b · 10ⁿ, то lg(a) = lg(b) + n.
Поэтому, если составить таблицы логарифмов для чисел от 1 до 10, то с их помощью можно найти логарифм любого числа, предварительно приведя его к стандартному виду (что легко делается вручную). И наоборот, с помощью тех же таблиц можно возвести 10 в любую степень (т. е. найти число по его десятичному логарифму), используя тождество10x = 10{x} · 10[x], где {x} — дробная часть x, а [x] — целая часть x.
Шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.
Логарифмическая линейка была изобретена примерно в 1620 - 1630 годах, вскоре после публикации Джоном Нейпиром концепции логарифма. Эдмунд Гюнтер из Оксфорда разработал вычислительное устройство с единой логарифмической шкалой; с помощью дополнительных измерительных инструментов его можно было использовать для умножения и деления.
История логарифмов ( автоперевод EN-wiki)
По своей сути история логарифмов началаь с попыток найти соответствие между умножением положительных действительных чисел и сложением. В начале 17 века в Европе этот метод получил формализацию и использовался для ускорения инженерных вычислений вплоть до изобретения компьютера.
Метод логарифмирования впервые изобрел и описал Джон Нейпир в 1614 году в своей книге Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Описание замечательного канона логарифмов ). Всего лишь 57 страниц описаний и 90 страниц приложений с таблицами тригонометрических функций и их натуральных логарифмов. Благодаря большому октрытию были значительно упрощены вычисления в сферической геометрии, связанной с астрономией и астронавигацией.
Причинно-следственная связь была следующей: Если хочется хорошо жить, то нужно развивать торговлю. С другими странами торговлю можно было развивать с помощью мореплавания. Для того, чтобы не умереть в большой воде, нужна была навигация. Для уточнения координат нужны были вычисления в сферической геометрии. И вот тут логарифмы пригодились. Также труды Джона Нейпира были высоко оценены Иоганном Кеплером, который занимался астрономией.
Изначально логарифм Нейпира задумывался как соотношение между двумя частицами, движущимися вдоль одной линии: одна с постоянной скоростью, а другая со скоростью, которая пропорциональна ее расстоянию от фиксированной конечной точки.
Вычисление логарифма Нейпира
Гениальный подход Джона Нейпира заключался в использовании кинематического метода. Нейпир задал равномерное движение точки y, которому соответствует равнозамедленное движение точки x.
Точка N движется равномерно на бесконечной прямой с началом в точке N₀. А точка M движется на прямой конечной длины M₀R. Скорость движения точки M равномерно уменьшается пропорционально расстоянию, которое ей остается пройти до конечной точки R (то есть равнозамедленное движение). Если устремить точку N в бесконечность, то точка M стремится в точку R, хотя и не имеет возможность её достигнуть (асимптотика). Если отмечать на прямых положения точек M и N через равные промежутки времени, то на шкале логарифмов N получается арифметическая прогрессия, а на шкале аргументов M получается геометрическая прогрессия из расстояний между соседними положениями. Такое соотношение разлинейки двух прямых представляет логарифмическую зависимость между величинами.
Для избежания отрицательных и дробных значений логарифмов Нейпир сделал прогрессию убывающий. Значения логарифмов умножались на 10 миллионов, чтобы постулировать, что логарифм от 10 миллионов равен нулю.
Джон Нейпир стал предшественником дифференциального исчисления того времени, когда еще не было даже таких понятий, как функция и функциональная связь.
Разумеется, если читатель уже знаком с высшей математикой, то такие условия дают несложное дифференциальное уравнение. Решение которого мы знаем из любого конспекта лекций по высшмату.
Именно последняя функция носит названия «нейпиров логарифм». Как видите, он заметно отличается от привычных для нас логарифмов.
Термин «логарифм», впервые использованный Непером, состоит из двух древнегреческих корней: λóγος — «отношение» и άριθμος — «число». Именно поэтому в его заметках о кинематическом методе было прописано relationship (смотри статью в wiki на английском).
Логарифмы Джона Нейпира были рассчитаны им для тригонометрических функций углов в диапазоне от 0 до 90° с шагом в одну угловую минуту. Расчеты были с точностью до восьмого знака. Это была первая в истории человечества таблица логарифмов. С помощью нее можно было заменить умножение многозначных чисел сложением , а их деление вычитанием. Правда использовать те исходные таблицы было чуточку сложнее, чем современные логарифмические функции.
Синусы, косинусы, тангенсы были в таблицах из-за того, что основной задачей Нейпира было желание упростить тригонометрические вычисления, связанные с его работой в области сферической тригонометрии. Напоминаю, что прикладное значение эта работа находила в навигации по звездному небу (необходимые условия выживания для морских походов).
Немного магии из биографии Джона Нейпира
То есть изначально логарифмы были нужны не для науки, а для астрологических расчетов, которые активно применялись в практических задачах. Забавно, что сам автор был загадочным человеком: ходил в черной мантии, носил с собой черного паука в коробочке, а в качестве питомца имел черного петуха. Джон также был поклонником оккульизма, алхимии и некромантии. Но иногда обычная логическая уловка может показаться магией для обывателей... Однажды Нейпир использовал своего чёрного петуха, чтобы поймать вораю Он сказал своим слугам пойти в затемненную комнату и погладить петуха, заявив, что птица закукарекает, если они были теми, кто украл его собственность. До этого ритуала Нейпир покрыл петуха сажей. Слуги об этом не знали. Когда слуги вышли из команты, Нейпир осмотрел их руки, чтобы найти того, кто слишком боялся погладить петуха. 🧐 (Биографию можно почитать тут)
А при чем здесь экономика?
В начале статьи было сказано, что логарифмы используются в экономике и связаны со сложными процентами, как и показательные функции. Давайте опять немного порисуем. Арифметическая шкала как всегда равномерна. Сумма всех отрезочков даст 10. А если вместо сложения взять логарифмы чисел от 1 до 10 по основанию 10, то длина каждого отрезка будет зависеть от того, насколь он далеко от начала. Напоминает вывод Нейпира?
Логарифмическая шкала часто используется в экономике и маркетинге, когда нужно оценивать рост/падение стоимости товара. Между парами значений (1; 2) и (9; 10) с одной стороны один пукнт (единица разница). Но если речь о цене, то в первом случае цена выросла в 2 раза (на 100%), а во втором случае цена выросла на 10%. И с логарифмической шкалой это гораздо нагляднее видно.
Логарифмы в жизни: где используются?
1. Аудиотехника и всё, что связано со звуком. Относительная громкость любых звуков измеряется в децибелах, которые считаются по десятичном логарифму. Относительной она называется, потому как отсчитывается от минимальной громкости, которую может расслышать человек. Например, если где-то написано: 20 децибел. Это означает, что текущий звук в 100 раз громче самого тихого звука, который способен услышать человек.
2. Водородный показатель или pH. В химии активность водородных ионов считается по логарифмической шкале. Водородный показатель — мера определения кислотности водных растворов. Ассоциирована с концентрацией ионов водорода, что эквивалентно активности ионов водорода в сильно разбавленных растворах. Подробнее в wiki
3. Выдержка и диафрагма в фотографии меняются логарифмически, потому что каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определенное число раз. Кстати, в VK веду групп с любительскими фото-заметками. Если будет интересно, то подписывайтесь: Halo Photo.
4. В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. В основе уравнения — логарифмическая зависимость скорости от массы ракеты с топливом. Подробнее в wiki
Проявление логарифмов в природе
Чаще всего в естественных природных условиях логарифмы можно встретить в виде логарифмической спирали, которая описывает очень много знакомых нам кривых линий.
Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль». Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов.
Немного фотографий природы по теме
Еще хорошо описывается история логарифмов в английской версии статьи на wiki (читать английскую версию в авто-переводе).
Вернемся к задаче в превью картинке... Вы же кликнули читать статью из-за разбора задачи, не так ли? 😏
Задача:
Решить уравнение (x/20)^lg(x) = 25
Решение:
Казалось бы, маленькое простое уравнение... Но не так всё просто. Дело в том, что эта задачка вызвала затруднение не только у учащихся школы, но и у репетиторов математики в telegram-чате. Поэтому задача показалась мне интересной, и это стало мотивацией чтобы сделать заметку для вас, дорогие мои читатели.
Итак, можно сделать замену переменных сразу. Посмотрим к чему это нас приведет...
Первый способ решения
В решении математических задач первый способ, который приходит на ум, не всегда является идеальным, простым или кратким. Иногда нужно взять черновик и поискать еще способы. И если бы мы сначала прологарифмировали наше уравненеи, то после использования свойств логарифмов, замена переменных быстрее привела бы нас к решению...
Второй способ решения
Понравилась статья? Поставьте лайк, напишите комментарий, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно! А если вы еще поделитесь статьей в социальных сетях, то я буду очень рад 🤗
Если кому-то нравятся длинные статьи с кучей разборов, то у меня для вас есть ещё:
Математика эллипса: всё, что нужно знать
Средняя скорость в физике и математике — что это? Разбор на задаче
Как решать задачи по физике с блоками из раздела «Механика»
Олимпиадная задача по физике или как напугать 10-классника задачей по кинематике
12 интересных математических задач с неравенствами
Большой подвох в маленькой задаче на языке C
Неочевидная математика банковской системы
7 сложных задач по математике на тему прогрессий
Вывод формул работы идеального газа во всех изо-процессах
Вывод уравнения формы цепной линии. Физика нити, имеющей массу
Задача по геометрии со «звёздочкой» * Сможете решить?
Разбор 7 задач по аналитической геометрии и линейной алгебре
Электродинамика диэлектрического шара: напряженность поля и потенциал
Удивила сложность олимпиадной задачи по математике за 1992 год
Сложная задача по геометрии ( МГУ, ВМК, 1971 )
Мишустин задал задачку лицеистам, а они её не смогли решить
Найти площадь закрашенной фигуры: олимпиадная задача по математике (для школьников)
Разбор 5 задач по теории вероятностей и математической статистике
📚 На Дзен недавно появился интересный канал «Читающий Лингвист». Автор канала пишет замечательные рецензии на зарубежную литературу, рассказывает о прочитанном и делает заметки на околокнижные лингвистические наблюдения.
Советую подписаться на этот авторский канал «Читающего Лингвиста»
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram