Теория
Полярная система координат на плоскости — координаты объекта, выраженные через направление и расстояние. Эта система включает в себя точку отсчета — полюс и луч , начинающийся в этой точке, — полярную ось. Положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки». Полярная система координат используется в астрономии, военном деле, геодезии, медицине.
Выразим площадь S криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r(φ) и двумя лучами φ = α и φ = β , где r и φ - полярные координаты.
1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т.е. S = S(φ), где α < φ < β ( если φ = α, то S(α) = 0, если φ = β, то S(β) = S).
2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади ΔS равно площади "элементарного криволинейного сектора" OAB. Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ → 0 и равен площади кругового сектора OAC (смотри рисунок) радиуса r с центральным углом dφ.
Поэтому dS = (1/2)⋅ r² ⋅ dφ.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = α до φ = β, получим искомую площадь
Задача 1. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными в полярной системе координат: r = 1 - cos(φ) ; r = 1; r ⩾ 1
Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной "трехлепестковой розой" r = a ⋅ cos(3φ).
Задача 3. Если плоская фигура имеет "сложную" форму, то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахождения площади. Так, для фигуры, изображенной на рисунке ниже, имеем:
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = 2 cos²(φ)
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r = -2⋅sin(3φ) и r = 2⋅sin(φ) в полярной системе координат.
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной r = √3⋅cos(φ) и r = sin(φ) в полярной системе координат.
Важные заметки
1. Интегралы лучше всего считать раздельно. Когда площадь вы хотите сразу посчитать одним интегралом, то велика вероятность допустим ошибку из-за невнимательности. Да, здесь все интегралы оказываются положительными, поэтому один не сможет обнулить другой. Но вот большое количество упрощений, подстановок, коэффициентов в результате понижения степени могут вас запутать. Поэтому разбиваем фигуру на более простые части, затем ищем площади всех частей отдельно, потом складываем.
2. Некоторые сложные функции легче всего исследовать в полярной системе координат. Вы можете самостоятельно убедиться в этом, если попробуйте перейти в декартовую систему координат с помощью формул перехода: x = r⋅cos(φ) и y = r⋅sin(φ).
Переход от декартовой системы координат к полярной
r = √(x² + y²) ; cos(φ) = x / √(x² + y²) ; sin(φ) = y / √(x² + y²) ; φ = arctan(y/x)
Применение полярных координат
Полярные координаты оказываются удобнее декартовых, для задания кривых на плоскости, особенно для задания различных спиралей, например, спирали Архимеда, логарифмической спирали, трилистника.
- В астрономических наблюдениях.
- В фотографии используют фильтр, переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную, создавая сферический эффект снимка.
- Необычный формат биржевых графиков на основе полярных координат предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев. Используя такую систему координат, относительно просто связать градусы и время (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов)
- В военном деле на радиолокационных станциях. Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).
- В медицине. Компьютерная томография сердца изображается в системе полярных координат.
- В системах безопасности при идентификации по радужной оболочке глаза.
- В геодезии в лазерном сканере получают координаты точек объекта с помощью измерения полярных углов и расстояний до объекта.
- В приборах измерительных лабораторий на предприятиях точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, в лабораториях институтов.
- В компьютерных играх.
Если Вам нужна помощь или репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать в группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram