В этой заметке я хотел бы затронуть линейную алгебру. Вчера в чате репетиторов по математике выложили вопрос с интересной задачкой по матричной алгебре. Оригинальное условие было на английском языке, поэтому именно с него начнем:
Задача
Let A, B, X ∈ ℝⁿ×ⁿ be matrices such that det(B) = det(A) - 1 and 3•A² • X = X•B Determine det(X)
А теперь примерный перевод:
Итак, заданы три матрицы A, B, X из множества действительных матриц размерностью nxn. Далее задано соотношение между определителями матриц A и B: det(B) = det(A) - 1. И еще линейное уравнение.
Линейное уравнение может внести путаницу в задачу. На самом деле нет необходимости пытаться его решить, чтобы изначально найти матрицу X. Тем более, в общем виде таких матриц может быть много.
Заметьте, что при решении линейных уравнений, записанных в матричном виде, мы не имеем право просто так переставлять множители. Потому что в общем случае произведение матриц не коммутативная операция (!).
Суть этой задачи заключается в том, чтобы воспользоваться свойствами определителей.
Правило 1: Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матрицы:
Правило 2: Если матрицу умножаем на число, то умножаются все элементы этой матрицы:
Правило 3: Если какую-либо строку или столбец матрицы умножить на одно и то же число, то λ, то определитель новой матрицы будет равен λ•det(A). Соответственно, если все строки умножить на одно и то же число, то перед определителем добавится коэффициент λⁿ, где n - размерность матрицы.
Это всё, что необходимо вспомнить из свойств матриц.
А ещё понадобится вспомнить тот факт, что показательная функция всегда положительное число, большее нуля.
Собрав все эти данные в кучу, получим:
Решение:
Понравился разбор задачи ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram