Недавно в чат задали такую задачку. Проблема была в том, что человека смущают логарифмы в правой части дифференциального уравнения (ДУ). Что ж, давайте попробуем разобраться в решении...
Задача
Решить однородное дифференциальное уравнение x⋅y' = y⋅(ln(y) – ln(x))
Решение:
Для начала поделим обе части уравнения на x и воспользуемся свойством логарифмов, из которого следует что ln(y) – ln(x) = ln(y/x). Таким образом мы получаем уравнение, в котором лучше всего видна структура для дальнейших преобразований: y' = (y/x) ⋅ ln(y/x).
Далее пробуем замену переменных t = y/x. Откуда y = t⋅x и y' = t'⋅ x + t. Здесь мы использовали правила взятия производной от произведения двух функций.
Затем подставляем подставляем всё в наше ДУ и получаем уравнение t'⋅ x + t = t ⋅ ln(t), у которого мы уже можем разделить переменные.
Разделяем переменные, получаем слева функцию, зависящую только от t, а справа - функцию, зависящую только от x.
Отдельно интегрируем левую и правую части. Делаем обратную замену и упрощаем. Теперь приведу готовое решение одной картинкой:
Понравился разбор задачи? Проявите активность: лайк, репост, комментарий.
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram