5,8K подписчиков

Задача по математике для женщин: какая площадь у восьмерки?

Привет друзья! Сегодня в честь праздника предлагаю вам подумать над такой вот задачкой уровня 1-2 курса. Полярную систему координат проходят еще в некоторых школах (физико-математических). Но более сложные задачи начинают решать с 1-го курса университета. Давайте вспоминать математику.

💡 Праздничная задача для женской половины подписчиков моего канала: Найти площадь закрашенной восьмерки, изображенной на превью.

А пока я покажу вам как можно решить базовую задачу, разобравшись с которой, вы сможете решить праздничную задачу выше.

Задача

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией r = 2⋅cos²(φ) в полярной системе координат.

Решение:

Теория

Полярная система координат на плоскости — координаты объекта, выраженные через направление и расстояние. Эта система включает в себя точку отсчета — полюс и луч , начинающийся в этой точке, — полярную ось. Положительным направлением отсчета углов считается направление «против часовой стрелки». Полярная система координат используется в астрономии, военном деле, геодезии, медицине.

Выразим площадь S криволинейного сектора, то есть плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r(φ) и двумя лучами φ = α и φ = β , где r и φ - полярные координаты.

1. Будем считать часть искомой площади S как функцию угла φ, т.е. S = S(φ), где α < φ < β ( если φ = α, то S(α) = 0, если φ = β, то S(β) = S).

2. Если текущий полярный угол φ получит приращение Δφ = dφ, то приращение площади ΔS равно площади "элементарного криволинейного сектора" OAB. Дифференциал dS представляет собой главную часть приращения ΔS при dφ → 0 и равен площади кругового сектора OAC (смотри рисунок) радиуса r с центральным углом dφ.
Поэтому dS = (1/2)⋅ r² ⋅ dφ.

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от φ = α до φ = β, получим искомую площадь

Практика

Посмотрим как можно строить график по лучам в ручную (да, я построил через графопостроитель для аккуратности, но имея транспортир или клетчатую бумагу для отрисовки основных углов, можно построить график рукой на черновике.

Теперь вычислим какую площадь ограничивает наша кривая r = 2⋅cos²(φ) , когда угол φ меняется в пределах от 0 до 2π ( 0 < φ < 2π )

Соответственно, чтобы найти площадь восьмерки, изображенной на превью, понадобится два раза посчитать такой интеграл для разных параметров(амплитуд) перед квадратом синуса и вычесть из большего меньшее. Тогда получится искомая площадь. Попробуйте потренироваться на черновике и написать ваш ответ в комментариях.

💡 Ну а если кто-то сможет накидать программку для автоматического подсчета интеграла (без использования библиотек), то обязательно покажите ваше решение в комментариях.

Жду ваших комментариев, мои дорогие друзья! А пока желаю вам крепкого здоровья, счастья, любви, добра, душевного тепла, мотивации решать задачи и ясности ума! Не пейте алкоголь! Лучше кушайте тортики и решайте задачи по физике, математике и программированию! Всем добра, всех обнял, всех люблю! 😊