Недавно я наткнулся на интересную задачку, связанную с математическим пределом и параметром, который нужно найти. На мой взгляд, эту задачу должен уверенно решать 1 - 2 курс. Это если ориентироваться на программу физ-мата. Но, если вы учащийся школы, то вы также можете попробовать свои силы, так как ничего сверхсложного здесь не будет. Тем не менее, в задаче можно запутаться. А теперь к условию:
Итак, остановитесь на этом моменте, возьмете черновик в руки и попробуйте решить самостоятельно. Аналитически, разумеется. Mathcad и программирование — для слабаков :)
Это конечно же шутка, но с долей правды. Прежде всего, чтобы развивать математическое и алгоритмическое мышление, вам нужно учиться решать задачи самостоятельно. А уже потом проверять их численным моделированием. И только в крайнем случае пользоваться готовым математическим пакетом.
Помните, что математические пакеты для тех, кто уже умеет решать аналитически. Если вы их будете использовать в любой ситуации, то ничему не научитесь. Ситуация такая же как тот факт, что при использовании калькулятора, вы разучиваетесь считать в уме и забываете таблицу умножения.
Ну что, удалось решить задачку? Если нет, то давайте разбираться вместе.
Решение:
Если вы напрямую подставите предельное значение, то получите неопределенность вида 0/0.
Точную сумму мы не можем посчитать из-за n. Именно его нам нужно найти. Однако, в числители дроби, которая стоит под логарифмом нечто похожее на геометрическую прогрессию. НО, забегая наперед, скажу, что это не очень хороший путь — использовать формулу геометрической прогрессии.
Избавиться от неопределенности 0/0 мы сможем через правило Бернулли-Лопиталя. Если мысленно обозначим за f(x) натуральный логарифм со «страшной» суммой, а за g(x) обозначим x, то видим, что эти функции являются гладкими и дифференцируемыми в окрестности точки x = 0, а значит предел отношения этих функций равен пределу отношения производных этих функций.
Без использования формулы для суммы геометрическое прогрессии:
А вот что будет, если сразу же применять формулу для суммы геометрической прогрессии. Заметьте, что ситуация заметно усложняется, и уже становится необходимо применять правило Бернулли-Лопиталя несколько раз подряд, пока не уйдет неопределенность.
Напишите в комментариях, удалось ли вам решить задачу? Сколько это заняло времени у вас? А если вам нравятся разборы таких задач, то поставьте лайк и подпишитесь на канал. По активности я буду лучше понимать о чем писать! Всем добра и математического просветления! :)
Еще статьи по математическому анализу
Математический анализ. Учимся решать пределы
Почему не нужно запоминать всю таблицу производных? О лайфхаках дифференцирования
Математика эллипса: всё, что нужно знать
Предел отношения логарифмов: как его найти ?
О полярных координатах и нахождении площади в полярной системе координат
Задача по математике, которая заставит вас подумать
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram