Несколько дней назад я популярно рассказал о крайне неинтуитивно работающем механизме, который по ветру едет быстрее этого самого ветра. Как и было спрогнозировано, обычное объяснение принципов работы этого механизма убедило далеко не всех. И я пообещал выложить расчёты, которые позволят понять, что всё же такой механизм возможен. И этот момент настал. Эта статья будет во многом математизирована, потому запаситесь терпением.
Прежде, чем начинать расчёты, надо бы понять, что мы считаем. Итак, у нас есть винт, на который действует ветер. Площадь этого винта обозначим за S. Угол наклона лопастей обозначим за α. Плотность воздуха ρ. Поскольку силу ветра мы всё равно фиксируем постоянной, можем принять её равной единице. Ну а собственная скорость агрегата пусть будет равна v. Имеется ввиду, что если v=0.5, то собственная скорость машины равна половине скорости ветра. Тогда в рамках обычной классической механики сила, действующая на лопасти будет равна:
При этом если скорость машины будет больше скорости ветра, то сила станет отрицательной. Но сама формула не изменится.
Винт этой машины жёстко связан с колёсами. Конечно, длина плеча винта обычно побольше диаметра колёс. Потому у нас появится рычаг, из-за которого скорость внешнего края винта и поверхности колёс не будут равны. Помимо этого естественного факта у нас также может быть и некое передаточное число при переносе вращения с винта на колёса. Вот все эти премудрости, которые влияют и на силу, и на скорость вращения, мы обозначим буквой f. Тогда скорость некоторой точки на винте будет равна fv.
Раз уж машина у нас едет, а колёса жёстко связаны с винтом, то вместе с вращением колёс у нас обязательно будет вращаться и винт. На этот винт будет действовать сила сопротивления уже боковому ветру. И она будет равна:
Обратим внимание, что можно считать, что колёса с Землёй связаны жёстко и не проскальзывают. А винт сквозь воздух проскальзывает легко. Потому скорость поверхности колеса и скорость машины можно считать одинаковой. И скорость винта не зависит явным образом от скорости ветра.
И так, у нас есть всего две силы, действующие на лопасти. В зависимости от конфигурации системы они могут тормозить или ускорять наш автомобиль. В рамках расчёта рассмотрим случай, когда мы движемся быстрее ветра по ветру, и проанализируем возникающие силы.
На рисунке синяя стрелка - это ветер, действующий на лопасть. Зелёная стрелка - это так называемый боковой ветер, появляющийся от вращения винта. Эти оба ветра сталкиваются с лопастью, обозначенной жёлтой линией, которая находится под углом α к вертикали. Тем самым порождаются две силы, которые я описывал выше. Оранжевая стрелка - сила со стороны ветра. Красная стрелка - сила со стороны набегающего на винт воздуха из-за собственного вращения. Естественно обе эти силы имеют проекции на направление движения машины и на направление движения винта. Тогда всё, что действует вдоль линии движения машины, вычисляется по следующим формулам:
А на винт давят такие силы:
С винта мы через редуктор передаём силу на колёса с передаточным числом f. Т.е. те же силы, но уже действующие через колёса в продольном направлении будут равны:
Таким образом мы получили все слагаемые, из которых будет складываться результирующая сила, разгоняющая или тормозящая нашу телегу. Давайте попробуем всё это корректно сложить. Поскольку мы движемся быстрее ветра, парусный эффект от этого ветра будет вычитаться. Т.е. Fx надо взять с минусом. От вращения винта силу нам необходимо передавать на колёса с положительным эффектом, что легко настраивается в самом механизме передачи движения от винта к колёсам. И мы эту силу передаём в сторону разгона. Т.е. Fyw берём с плюсом. Силу, действующую со стороны бокового ветра на винт в продольном направлении мы можем ориентировать углом поворота лопастей. И также её можем направить в сторону ускорения. Т.е. Gx берём с плюсом. Ну и сопротивление этому боковому ветру у нас очевидно будет отрицательное, ведь оно тормозит наши лопасти. Т.е. Gyw берём с минусом. Запишем это:
Выделим общие множители:
Ну и с этой формулой уже можно работать. Всё, что нам нужно, чтобы она была положительна. Тогда найдём такие значения f и α.
Проанализируем выражение в квадратных скобках слева:
При |f|>1 парабола, ветви вверх. Поскольку мы договорились, что скорость машины больше скорости ветра, то v>1. Исследуемое выражение будет больше нуля.
Проанализируем выражение в квадратных скобках справа:
Из приведённого анализа следует, что при α меньше этого хитрого выражения, у нас и правый множитель положителен. Если мы примем f=2, то α должен быть как максимум 63 градуса. Любые значения ниже, не доходя до нуля, тоже устраивают. Если f=1.1, то α<47°. Указанные формулы дают полное описание, когда вся эта конструкция может с ускорением двигаться по ветру со скоростью больше скорости самого ветра.
Вообще, если проанализировать более подробно, то выходит, что у нас должен быть максимально близкий к прямому углу поворот лопастей, а передаточное число должно быть максимально большим. В этом случае мы теоретически можем разгоняться бесконечно. Но, конечно, на больших скоростях появляются разнообразные нелинейности и прочие паразитные эффекты. Будет возрастать лобовое сопротивление кабины. Кроме того будет и влияние неидеальных узлов, куда будет уходить энергия. Потому реальная максимальная скорость не только не бесконечна, не только не доходит до скорости звука, но и вряд ли превысит 5 скоростей ветра. Хотя постараться можно, если в этом будет какой-то практический смысл.
