Раз уж сегодня день провозглашения Итальянской республики,то закажем-ка, амичи, пиццу и посмотрим на нее с точки зрения математики. Факты, в общем-то, известные, о чем сразу предупреждаю.
Факт первый. Что больше по весу: две пиццы диаметром 23 сантиметра, или одна большая диаметром 33?
Толщина лепешки более-менее одинакова для пицц разных размеров, так что вес пиццы определяется площадью, а она пропорциональная квадрату диаметра. Стало быть, сравнивать надо 2∙23²=1058 и 33²=1089. Коэффициент пропорциональности роли не играет, так как он один и тот же в обоих выражениях. Итак, две маленькие меньше, чем одна большая.
А три маленькие диаметром 23 и одна большая диаметром 37, что тяжелее?
На сей раз три маленькие. Но не намного: процентов на 16.
Вот пример из жизни. Пицца бывает маленькая (28см), средняя (33см) и большая (38см). Какая дешевле за килограмм, если стоят они, соответственно, 415 р, 575 р и 715 р?
Надо делить цену на квадрат диаметра, получая цену единицы площади. Там некий множитель, который нас не интересует пока, поскольку нам надо сравнить цены, а не вычислить их. Получается
52.80, 52.93 и 49.51 за некоторую единицу площади или, при постоянной толщине теста, за некоторую единицу веса, одну и ту же для всех пицц. Получается, что самая дорогая средняя пицца, а дешевле всех большая.
Второй факт относится к геометрии и сопромату. Известно, что ломтик пиццы, если тесто тонкое и свежее и начинки много, легко сгибается под собственным весом. Но если его согнуть, приподняв края, то он уже не согнется сам.
В общем-то, принцип прочности балки двутаврового сечения тоже таков: кривизна в одном направлении препятствует изгибу, но почему?
Потому что плоский ломтик пиццы имеет нулевую кривизну, а изогнутый тоже имеет нулевую кривизну. Ведь кривизна в точке — это произведение главных кривизн в этой точке, а главные кривизны — это кривизны кривых в двух перпендикулярных направлениях, наибольшая и наименьшая.
У согнувшегося кусочка пиццы в направлении от бортика к кончику кривизна есть (что и означает "согнулся"), а вот в перпендикулярном направлении кривизна равна нулю, так что полная кривизна нулевая.
Если же вы согнули его в этом направлении, то кривизна от бортика к кончику нуль, а поперек — уже нет (что и означает "его согнули"). Если он согнется под тяжестью начинки, обе кривизны будут ненулевые, и полная кривизна тоже.
А невозможно отобразить область с нулевой кривизной на область с ненулевой кривизной изометрически: без изменения расстояний и углов. Гаусс гарантирует это. Иными словами, не растянув, порвав или сломав что-то, нельзя наложить поверхность с одной кривизной на поверхность с другой.
Одно дело согнуть мягкое тесто, другое - разорвать. Тоже можно, конечно, но усилие уже нужно более значительное. Вы можете легко убедиться в этом, поэкспериментировав с листом бумаги. Согнуть плоский лист элементарно, а вот уже согнутый будет сопротивляться попытке согнуть его в другом направлении.
Если кусок все-таки согнется, то вы увидите натяжения и разрывы на сырной корочке, на тесте, в общем, будет заметна деформация.
Третий факт относится не к пицце, но к слоеному тесту, что где-то близко. Слоеное тесто готовят, раскатывая кусок теста, складывая блин пополам, и снова раскатывая. Такое преобразования квадрата в себя называется преобразованием пекаря: переводим квадрат в прямоугольник, умножая все x на два и деля все y тоже на два; затем разрезаем прямоугольник на два и ставим один на другой. Как на рисунке. Получается снова квадрат.
При этом внутренние точки очень эффективно перемешиваются. Возникает хаос: траекторию точки очень трудно предсказать надолго вперед. Технически это означает, что слоеное тесто можно посолить в одном уголке и соль равномерно разойдется по всему тесту, если повторить операцию достаточно много раз. Не очень много.
Общефилософски это означает, что всякие хаотические траектории, фракталы и парадоксальные множества порождают довольно рутинные операции. Это вам не какой-то хитрый процесс Лоренца (другого, не того, который преобразования Лоренца ввел), это тесто. Всего лишь тесто.
Подробнее о преобразовании пекаря потом расскажу отдельно, а пока - пицца остывает, всем пока!
Путеводитель по каналу и оглавление рубрики "Учебник"