Глядя на вертолёт на стоянке всегда удивляешься и задаёшься вопросом: Как такие тонкие и гибкие лопасти, свисающие почти до земли под собственным весом (см. фото. Рис.1), способны удержать тяжёлую машину в полёте?
Разберём этот вопрос с помощью прямого анализа действующих при вращении лопастей сил.
Этих сил всего две:
1. Полное аэродинамическое сопротивление (ПАС), включающее в себя подъёмную силу Fy (ПС) и силу сопротивление полёту Fx (СС).
2. Сила Fn растяжения лопасти, создающая центростремительное ускорение при вращении винта .
Именно баланс этих сил удерживает вертолёт в воздухе на вращающихся над ним тонких и гибких лопастях.
Как известно из законов аэродинамики подъёмная сила крыла при горизонтальном полёте (неподвижном зависании вертолёта) равна
Fy= Pv* S*Cy
Рv= q*v^2/2
При вращении крыла вертолёта на разных участках скорость неодинакова, и подчиняется линейному закону
V=w*r
Где w- угловая скорость вращения, выраженная в радианах (рад/сек),
r- расстояние от оси вращения вертолёта до заданной точки в метрах.
При подстановки выражения для скорости участка лопасти площадью dS на ширине dr в выражение скоростного напора, получаем выражение с зависимостью от одного переменного параметра r (радиуса) при постоянном параметре частоты вращения ротора вертолёта с лопастями.
dS= dr*В,
где В- ширина лопасти (хорда лопасти).
Тогда получим выражение для ПС участка лопасти длиной dr :
dFy= (w*r)^2*q* dr*В*Cy/2
Таким образом из формулы видно, что подъёмная сила вращающейся лопасти dFy не постоянна по длине лопасти, а изменяется по квадратичному закону от нуля на оси вращения ротора до максимального значения на конце лопасти. (см.рис.2 )
В то же время этот же участок лопасти длиной dr имеет массу dm= dr*Mл,
Где Мл – это удельная масса лопасти на 1 м её длины.
Вращающейся участок лопасти с массой dm и скоростью v=w*r испытывает на себе центростремительное ускорение
а=V^2/r= (w*r)^2/r=w^2*r.
Ускорение создаётся за счёт силы натяжения лопасти вертолёта, и равна эта сила
dFn=dm*a= dm*w^2*r
Вращающаяся лопасть испытывает переменное натяжение по своей длине от максимального на оси вращения, до нуля на конце лопасти.
Каждый отдельный участок лопасти вносит свой вклад в это натяжение, пропорциональное его удалению r от оси вращения лопасти (согласно предыдущей формуле для Fn).
Если вращающуюся лопасть расположить под углом к оси вращения, то сила Fn окажется также отконённой, как и сама лопасть, при этом участок лопасти dmполучит нескомпенсированную составляющую, перпендикулярную исходной плоскости вращения лопасти.
dFnt= dm*w^2*r*sinAл
где Ал – это угол участка лопасти dr к перпендикуляру от оси вращения ротора.
В качестве отклоняющей лопасть силы выступает подъёмная сила крыла (ПС лопасти).
Считая лопасть идеально гибкой, можно вычислить параметры её формы при вращении из условия равенства подъёмной силы участка лопасти dFy и её восстанавливающей тангенциальной силы dFnt.
Эта некомпенсированная составляющая сил натяжения будет стремится вернуть лопасть в плоскость вращения, а подъёмная сила будет удерживать лопасть в наклонном положении.
dFy= dFnt.
(w*r)^2*q* dr*В*Cy/2= dr*Mл*w^2*r*sinAл =>
r*q* В*Cy/2= Мл*sinAл =>
r*q* В*Cy/ (2*Мл)= sinAл
Считая углы Ал малыми ( то есть угол Ал= sinA c высокой точностью), то получаем зависимость с линейным ростом угла отклонения лопасти от оси вращения к её концу:
Ал= r*q* В*Cy/ (2*Мл)
Таким образом угол отклонения напрямую зависит от коэффициента подъёмной силы Су и ширины лопасти В, а также обратно пропорционален удельной массе лопасти Мл.
Интересно, что скорость лопасти в формулу не входит, а всё зависит от массо-габаритных параметров лопасти и плотности воздуха окружающей среды.
Чем выше масса лопасти, тем меньше лопасть отклоняется от плоскости вращения в полёте вертолёта.
И чем меньше Су и уже крыло, тем меньше угол отклонения лопасти от плоскости вращения.
Для авиации лишняя масса в ЛА- это чистое зло, а потому надо как-то оптимизировать конструкцию для снижения её массы.
Получить малый угол отгиба лопасти при сохранении её подъёмной силы и при снижении массы самой лопасти можно за счёт большей скорости вращения лопастей.
Таким образом для вертолёта применимы профили крыла с очень высоким качеством, но крайне низкими Су при малом сечение профиля.
То есть для вертолёта востребованы очень тонкие, узкие и гибкие крылья, не применимые даже для свободно летящих рекордных лёгких планеров, но прекрасно вписывающихся в конструкцию быстро вращающихся растянутых лопастей вертолёта. (см.рис.3)
Как мы видим (см.рис.2), эпюры Fy и Fnt не совпадают по геометрии (первая квадратичная с началом от оси вращения, а вторая линейная), и потому к концу лопасти будет наблюдаться чуть более сильный изгиб, чем у основания лопасти. Правда величина этого изгиба лопасти крайне мала и практически не обнаружима взглядом (см. фото.рис.4).ис.3. Поляры различных профилей крыла с различными конфигурациями, симметрией и малой относительной толщиной.
Рассмотрим вариант такого профиля на конкретных цифрах для серийного вертолёта Ми-8.
ТТХ Ми-8:
Масса взлётная- 12 тонн.
Лопастей-5шт.
Диаметр несущего винта -21,3м
Мощность двигателя – 2х1500л.с.
На одну лопасть приходится масса 2400кг.
Именно эту массу должна удерживать аэродинамическая ПС лопасти при вращении.
Для профиля NACA-0006 Cy=0,45 при Сх=0,02, что даёт качество К=0,45/0,02=22,5 (см.рис.2)
Для профиля A-6% Cy=0,24 при Сх=0,01, что даёт качество К=0,24/0,01=24 (см.рис.2)
Используем в расчёте максимальный К=24.
Считая максимальный угол отгиба лопасти вверх не более 5 град ( 0,08 радиан), при ширине лопасти 0,52м (см Рис.4.)
Получаем Мл= 21,3*1,2*0,52*0,24/( 2*2*0,08)=9,968 кг/м.п.
Вес всех лопастей ротора составит 9,968 *21*5/2=530 кг.
Одна лопасть будет весить около 106 кг.
В реальности вес лопасти от 90 до 120 кг, то есть наш расчёт попал точно в середину диапазона, что само по себе отличный результат.
Чтобы получить на лопасти 2400 кг подъёмной силы её придётся крутить с некоторой окружной скоростью.
Fy= q*v^2* S*Cy/2
Считая, что работает только внешняя половина лопасти длиной 5 м (более 80% подъёмной силы, см .рис.3) на радиусе 75% длины лопасти – 7,5 м, получим
2400*9,81= 1,2*7,5^2*5*0,52*W^2*0,24/2
W=(2400*9,81*2/ (1,2*7,5^2*5*0,52*0,24))^0,5=33 рад/с (5,3 об/сек=319 об/мин)
Расчётная мощность двигателя потребуется
Nдв=2400*9,81*5*7,5*33/24=1230 кВт (1671 л.с.)
То есть мы получили достаточно точное совпадение с ТТХ Ми-8
Реально у Ми-8 Скорость вращения несущего винта – 192 об/мин, рулевого (который на хвосте) - 1124 об/мин.
То есть частота вращения в 1,66 раза ниже, чем получили мы, а это влечёт возрастание в 1,66^2=2,76 раза угла отклонения лопасти от плоскости до 12-15 градусов, вместо заложеных в расчёт 5 градусов.
Также можно увеличить значение Су сечения лопасти для сохранения прежней нагрузки на лопасть при меньшей скорости. Таким параметрам Су на меньших скоростях будет соответствовать более толстый профиль крыла, чем мы предположили исходно.
Именно такой более толстый профиль NACA-230-12M с относительной толщиной 12% используется на реальных Ми-8 (см.рис.5).
В Ми-8 используется оба приёма одновременно, то есть и углы отклонения лопастей от плоскости вращения выше, чем предположили мы изначально, и профили используют не самые тонки, как представлялось нам изначально.
Ограничение по скорости вращения лопастей связаны со скоростью звука.
Так лопасть не должна в полёте достигать скорости звука, чтобы не возникали негативные механические воздействия на лопасть и не ухудшались несущие свойства лопасти из-за эффекта «запирания» (снижение подъёмной силы крыла при пересечении звукового барьера).
А при расчётной наше частоте вращения 33 рад/с и радиусе ротора 10м конец лопасти имела скорость законцовки более 330м/с, то есть конец крыла заведомо летел со скоростью выше звуковой.
Для дозвуковых профилей крыла вообще опасно приближаться к звуковому порогу, так как явление флаттера может почти мгновенно разрушить лопасть при достижение критической околозвуковой скорости Vф.
Таким образом оптимизационные расчёты уже на втором шаге корректировки исходных параметров привели нас к попаданию в реальные ТТХ реального летающего вертолёта.
То есть заявленная вначале статьи расчётная схема оказалась вполне правдоподобной и жизнеспособной.
Суммарная сила растяжения одной лопасти в шарнире несущего винта определяется просто- это доля веса аппарата на одну лопасть, делённая на синус угла отклонения лопасти от плоскости вращения.
Для вертолёта с 5-ю лопастями это будет выглядеть так:
Fn=m*g/ (5*sinАл)
То есть узел крепления лопастей разрывается в разные стороны ( с звёздно-лучевой симметрией) огромными растягивающими усилиями от вращающихся лопастей, при этом на оси несущего винта складываются проекции на эту ось сил от натяжения лопастей (см.рис.6)
