Предлагаю вашему внимание размяться на геометрической задачке про квадрат. Условие очень простое: всё что нам дано — изображено на рисунке. Нужно найти площадь квадрата. Как это сделать ?
🕑 Задача
Дан квадрат ABCD с некоторой стороной a. В квадрате на смежных сторонах BC и CD поставлены две точки K и P соответственно таким образом, что ∠KPC = 30° и ∠PAD = 15°. Найти площадь квадрата. (условие составлено по рисунку).
👨🏻💻 На этом моменте прошу вас остановиться и подумать самостоятельно над задачей без использования гугления, поиска в интернетах, GPT-чатов и помощников.. 😊
Чуть дальше по тексту будет решение... А пока порекомендую вам несколько других интересных статей по математике.
Решение: Способ 1
Сделаем рисунок более подробным и отметим на нем всё, что мы знаем полезного о двух прямоугольных треугольниках:
А теперь математически опишем то, что мы знаем о квадрате и треугольниках ΔKCP и ΔAPD. Здесь же, сразу учитывая тригонометрические свойства, мы сможем выразить значение стороны квадрата a через значения углов 15° и 30°.
Теперь нам явно понадобится формула для аналитического расчета tan15°. Возьмем готовое соотношение: tan15° = 2 - √3 (вывод этой формулы смотрите ниже или в telegram канале в этом посте).
Очевидно, что площадь квадрата S = a², где a — сторона квадрата в каких-либо единицах измерения. Тогда продолжим наши математические выкладки:
Ответ: площадь исходного квадрата равна S = 12 [ед²].
Решение: Способ 2
Если сделать небольшое дополнительное построение, то у нас получается равнобедренная трапеция.
Решение: Способ 3
Ну и раз уж находятся критики тригонометрии в комментариях, до добавляю ещё один способ решения.
❓ Есть ли какой-то другой способ решения данной задачи? Напишите ваши идеи и решения в комментариях к статье...
Вывод аналитического выражения для tan15° = 2 - √3
Тригонометрическая функция тангенса представляет собой большой интерес. Поэтому в этой заметке я расскажу вам несколько интересных фактов:
◼ Высота некоторых объектов может быть вычислена с помощью тангенса. Ведь если известно расстояние до объекта и угол обзора, под которым с земли видна вершина объекта, то можно вычислить высоту по формуле h = d ⋅ tanα
◼ При проектировании зданий и сооружений тангенс используется для расчета наклона стен, крыш.
◼ В симуляции физики движение тангенс использует для определения углов, под которыми взаимодействуют объекты. Это нужно в разработке игр и 3D-моделировании.
◼ tan(α) > α
◼ Тангенс позволяет определить угловой размер объекта: tan(α) = Xₐ / Dₐ , где Xₐ — размеры отрезка А, а Dₐ — расстояние до отрезка А. Математика перспективных изображений, соответствующих изображениям на сетчатке глаза, начинается с угловых размеров. Из этого соотношения следует, что чем дальше объект расположен от глаза, тем меньше его угловой размер, и тем меньше воспринимаемый глазом его линейный размер.
◼ Функция tan(α) тесно связана с геометрическим смыслом производной. Данное свойство используется в математическом анализе в определении производной: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны. В геометрии тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной тангенс может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, то есть м ∕ с.
◼ Существует очень мощный лайфхак для решения задач математического анализа, в частности — взятия интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Речь идёт об универсальной тригонометрической подстановке или подстановке Карла Вейерштрасса. В этом случае все тригонометрические функции выражаются через тангенс половинного угла: t = tan(α/2) что даёт sin(x) = 2t/(1 + t²) ; cos(x) = (1 - t²)/(1 + t²) ; dx = 2dt / (1 + t²). Для гиперболических функций существуют похожие формулы.
◼ 1 + tan²(x) = sec²(x) и 1 + сtg²(x) = cosec²(x)
◼ Котангенс и косеканс имеют точки разрыва x = π ⋅ k. Но неограниченны по вертикали: (-∞; +∞)
◼ Существует красивое разложение тангенса в непрерывную цепную дробь: tan(x) = x / (1 - x² / (3 - x² /(5 - x² /(7 - x² /(...)))) )
◼ Тангенс происходит от лат. слова tangent = касательный/касание. Абуль-Вафа Мухаммад ибн Мухаммад аль-Бузджани — персидский ученый X века, который ввёл тригонометрические функции тангенс и котангенс и построил их таблицы; нашёл с высокой точностью значение синуса одного градуса. Он же вывел формулу для синуса суммы двух углов, и в одно время с аль-Худжанди и Ибн Ираком доказал теорему синусов для сферических треугольников.
💡 Больше крутого контента в моём telegram-канале:
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram
