5,8K подписчиков

Задача по функциональному анализу поставила физ-мат чат в тупик

В этой заметке разберем подробное решение очень интересной задачи из функционального анализа. И это решение будет самым подробным в интернете. Задача была предложена одним из участников беседы сообщества Physics.Math.Code. Но, к сожалению, никто не предложил полноценного решения. У меня наконец-то дошли руки до разбора, поэтому давайте вспомним немного математического анализа и приступим 😊

А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡

📝 А теперь к делу и к условию...

🕑 Задача

Найти максимальное a, для которого существует функции f(x) и g(x) такие, что f²(x) + g²(x) ≥ a и выполнены следующие условия:
(a) f(x) и g(x) — неубывающие дважды дифференцируемые функции,
(b) f''(x) = g(x) и g''(x) = f(x),
(c) функция f(x)·g(x) линейная по x.

На это моменте возьмите в руки черновик и карандаш, и попробуйте решить задачу самостоятельно без помощи чего-либо. Если не получится, то после картинки будут идеи... 💡

Решение:

Для простоты выкладок сделаем обозначения: f(x) = f и g(x) = g.

Рассмотрим функцию произведения наших двух функций: z(x) = f(x)·g(x) = k·x+b.

Правая часть выражения является линейной функцией по условию задачи. Возьмем производную по x от обоих частей равенства, получаем (f(x)·g(x))' = (k·x+b)' → f'·g + f·g' = k :

Нам нужна связь с производными второго порядка, поэтому повторим процедуру взятия производной:

Учитывая равенства из условия задачи в пункте (b), можно получить оценку для суммы квадратов функций:

Откуда получается f²(x) + g²(x) = -2·f'·g'. Так как наши функции f(x) и g(x) неубывающие, т.е. возрастающие, то их производные являются положительными функциями на всём диапазоне определения.
Математически f' ≥ 0 и g' ≥ 0, поэтому -2·f'·g' ≤ 0.