В интернете стал гулять интересный файл, фото или скан реальных заданий с экзамена по математике за 1942 год. Кто-то болтает, что раньше экзамены были проще, чем сейчас, а советское образование было слабым?! Дайте им эти задания, временно отберите интернет и наслаждайтесь, как тявканье против старой школы превращается в тишину... 90% школьников, студентов, взрослых не решат эти задания без интернета и GPT-чатиков. 😏
Вашему вниманию представляется вариант выпускного экзамена по математике за 22 июня 1942 года. Год после начала войны. Для ослабленных детей проводился сокращённый экзамен — вместо пяти задач было три. Но они не были простыми: две задачи с параметрами и задача на бином Ньютона. С ними далеко не все нынешние выпускники справятся. Задания в то время печатали на пишущей машинке, а формулы позже вписывали чернилами от руки.
Подлинник хранится в физико-математическом лицее № 239 Санкт-Петербурга, благодарим директора лицея М. Я. Пратусевича за этот экземпляр.
А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡
🕑 Остановитесь на этом месте, возьмите черновик и попробуйте быстро решить эту задачу без посторонней помощи... 📝
💡 Внимание: данные задачи я буду разбирать не так как их надо решать на экзамене, а так как я хочу: максимально подробно и раздуто. Для того, чтобы поняло большинство, а не сверхумные «гении», которые приходят в комментарии написать, что могут решать в уме и в одну строчку.
📝 Сразу к делу и к условию...
Задача 1
При каких значениях a и b система двух уравнений с двумя неизвестными 6·x + y = 10 и (a+1)·x + (1/a)·y = a² + b имеет бесчисленное множество решений.
Решение:
Из (1) уравнения выразим одну из переменных: y = 10 - 6·x и подставим во (2) уравнение системы, в результате чего получим:
Далее проведем некоторые упрощения, приводящие к стандартному линейному виду:
Чтобы это линейное уравнение имело бесконечное количество решений, оно не должно зависеть от x , в то же время оно должно быть верным тождеством. Это возможно только тогда, когда мы имеем уравнение вида: 0·x = 0.
Приравнивая к нулям соответствующие коэффициенты, мы получим систему уравнений для двух параметров a и b:
Проверка:
Заметим, что x и y в исходной системе связаны линейно, поэтому для x ∈ ℝ однозначно следует, что y ∈ ℝ.
Немного более запутанные рассуждения через расширенную матрицу (моделируем ситуацию, если бы пошли через линейную алгебру):
Строим расширенную матрицу системы и приводим её к ступенчатому виду:
Решение матричного уравнения получаем в виде:
Для бесконечного количества решений (ориентируемся на базовую переменную y ) нам нужна неопределенность вида 0/0, откуда мы получаем систему уравнений для параметров:
Что приводит нас к точно таким же ответам.
Задача 2
В разложении (1/y + √y)ⁿ коэффициент 4-го члена относится к коэффициенту 6-го члена, как 5:18. Определить в этом разложении член, не зависящий от y.
Решение:
Мы знаем популярное разложение бинома Ньютона:
Сведем наше выражение к такому же разложению:
Получаем, что
Здесь важный момент, на котором очень легко попасться. Нумерация идет с нуля. Поэтому 4-й член соответствует k = 3, а 6-й член соответствует k = 5. Тогда выразим отношение 4-го члена к 6-му члену:
С другой стороны мы знаем, что это равно 5/18, тогда мы получим уравнение, из которого найдем неизвестное m:
Для члена, который не зависит от y, должно выполняться условие обнуление степени при y:
Тогда свободный член получается следующим:
Задача 3
Дано неравенство: (a-1)·x² + (a+1)·x + a + 1 > 0. При каком значении параметра a это неравенство удовлетоворяет любым вещественным значениям x.
Решение:
Рассмотрим функцию:
Графиком левого выражения неравенства является парабола. Чтобы неравенство выполнялось независимо от x , вершина параболы должна лежать над осью Ox, а ветки должны быть направлены вверх. При этом корней соответствующего уравнения быть не должно.
Найдем координату вершины:
Тогда для y-координаты вершины:
Здесь было учтено, что:
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram