Господа и дамы, сегодня будет опять разбор 25 задачи из ОГЭ по математике. Там геометрия... Страшный сон девятиклассника. Давайте в комментариях порассуждаем о том, как научить решать подобные задачи. Какой алгоритм действий нужно прививать ученикам, чтобы они быстрее находили правильный путь?
А пока попрошу подписаться на мой канал в telegram IT mentor . Краткие заметки и наблюдения по физике, математике, программированию, железу и технике 💡
📝 А теперь к делу и к условию...
🕑 Задача
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника △ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.
На это моменте возьмите в руки черновик и карандаш, и попробуйте решить задачу самостоятельно без помощи чего-либо. Если не получится, то после картинки будут идеи... 💡
Решение:
Для начала требуется сделать рисунок, который будет соответствовать условию задачи:
Примечательно то, что про BC ничего не сказано, значит эта сторона может как пересекаться с окружностью (O;R=OK=ON=OM), так и не пересекаться. Я выбрал построение без пересечений, потому что так легче смотреть глазу.
AM = 9 и AN = 11, тогда MN = AN - AM = 11 - 9 = 2.
В задаче есть секущая AC и касательная AK, следовательно, используя теорему об отрезках касательной и секущей мы можем найти AK:
Далее стоит обратить внимание на треугольник △MKN. В нем мало что известно на этом этапе, но зато мы можем найти связь с нужным нам радиусом:
Теперь мы хотя бы знаем куда копать. Нам нужно хотя бы одна из этих дробей.
Рассматривая треугольник △AKM, можно применить теорему косинусов и найти сторону KM, которая нужна для дроби из предыдущей теоремы синусов:
KM = 9, значит он совпадает с отрезком AM, который тоже равен 9 (по условию задачи). Здесь нам попадается равнобедренный треугольник △AKM. *
* - если бы △AKM не был равнобедренным, мы бы всё равно смогли решить задачу (подумайте как).
Самое время опять вспомнить теорему об отрезках секущей и касательной. Там есть интересные углы. Их равенство поможет нам дойти до того, что ∠MNK = ∠BAC:
Остается использовать основное тригонометрическое тождество, чтобы найти нужны sin∠MNK, когда в условии задан cos∠BAC. Подумайте почему синус точно будет положительным.
Возвращаясь к теореме синусов и выбирая одну дробь, мы легко находим радиус окружности:
🔍 Доказательство теорем, которые мы использовали в этой задаче, находится в этой статье:
Полное решение
Если вы знаете другой способ решения данной задачи, то обязательно поделитесь в комментариях 😊
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram