Привет, мои дорогие читатели. Сегодня математики и геометрии вам в ленту. Проводили на днях занятие с ученицей, разбирали тест ОГЭ, который им дали в школе. Последнюю задачу (да, тот самый 25й номер) никто не сделал. Кто-то назвал её олимпиадной. Давайте сегодня подумаем над тремя вопросами:
1. Реально ли решить такую последнюю задачу?
2. Что нужно для решения?
3. Хватит ли знаний ученику 9-го класса?
📝 Сразу к делу и к условию...
Задача
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 20, BC = 15.
🕑 Попробуйте взять паузу на этом моменте, карандаш, черновик. И решите задачку самостоятельно... Если не получится, то мы разбираем вместе. 👇
Решение:
Хочу рассмотреть два способа решения. Расположу эти способы в том порядке, в котором сам догадался до них. Оба способа сложны [для большинства людей, изучающих/решающих геометрию] тем, что нуждаются в дополнительном построении. А до правильного дополнительного построения нужно догадаться.
Под правильным я подразумеваю лишь такое, которое помогает решить задачу, а не усугубляет её понимание из-за сильной усложненности рисунка.
✅ Важно: Используемые в решениях теоремы мы докажем в самом конце статьи.
Способ # 1
Здесь у нас много высот, поэтому получаются три пары подобных треугольников. Используем это для получения нужных уравнений. Также воспользуемся теоремой об отрезках касательной и хорды.
Способ # 2
Во втором способе опустим высоту из вершины C трапеции. Введем обозначения базового отрезка CD=x и базового угла ∡ADC. Через них мы попробуем выразить все необходимые величины. В конце будем рассчитывать на то, что неизвестный параметр сократится.
Ответы в двух разных способах сошлись, значит (вероятно) задача решена правильно. Теперь вернемся к нашим вопросам:
1. Реально ли решить такую последнюю задачу? Да, реально, хоть и довольно сложно, учитывая, что это уровень ОГЭ.
2. Что нужно для решения? В обоих способах сильно помогла теорема об отрезках хорды и секущей, проведенных из одной точки к окружности. Еще для решения отработало подобие треугольников.
3. Хватит ли знаний ученику 9-го класса? Знаний хватит при внимательном изучении учебника. Т.к. всё выводится из подобия.
Теоремы, которые использовались в решении задачи
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram