В ФГОСе есть интересный пункт о том, что ребёнок должен в школе научиться строить математическую модель задачи. А как это обеспечить, конечно же, не написано. Тема очень сложная, поэтому статья длинная (и подробная). В процессе описания я буду делать ремарки о практических действиях, чтобы научить детей решать задачи (ведь это конечная цель).
Вот сейчас на пальцах продолжу объяснять про моделирование на примере математики, но это прекрасно и в физику ложится.
Кстати, никто толком не знает, что такое "модель задачи". Не то, чтобы никто не знает... Тут как, это такое "умолчательное" понятие. Которое, вроде как, все и так знают, зачем его определять. Ну как "мебель". Все знают, что такое "мебель". Но вот попробуйте дать ёмкое и точное определение этому слову, не залезая в словарь. И так же с моделями задач. Единственное, что мы все понимаем, это что модель - обязательный шаг в решении задачи (кто-то сейчас скажет, мол, и безо всяких моделей решает - дальше будет ответ)
Вот как это происходит в голове у учителя (или просто взрослого человека). Мы берём задачу читаем текст, и видим, что решать её надо, допустим, через уравнение, а за икс брать скорость второго пешехода. И как-то сразу это уравнение в голове вырисовывается. Конечно, при решении сложной (читай - навороченной) задачи, нужно взять бумажку, записать уравнение, его части. А если задача простая, то вообще всё в уме можно сделать.
И вот где-то между "читаем текст" и "видим" происходит то самое моделирование. Оно происходит неосознанно, в фоновом режиме. Большинство людей его даже не замечают (это для тех, кто вдруг умеет "решать задачи без всяких моделей").
Так что такое математическая модель задачи.
Многие себе представляют сразу какое-то уравнение, действия, выражения, формулы. Это не так. Вернее, не совсем так. Формулы и уравнения - это уже результат моделирования. Это как бы финальная версия модели. Уже готовенькая, прилизанная, поверхностная. Оболочка. А нас сейчас интересует её внутренняя структура, откуда вдруг всплыли эти формулы.
Любая текстовая задача - это описание ситуации, из нашего мира. Бесконечного, разветвлённого, сложного. Реального. В реальном мире столько объектов, их параметров и связей между ними, что попытка решить задачу на реальном мире приведёт к бесконечности (к этому ещё вернёмся), так что получить ответ нельзя даже в теории. Поэтому нам, для практического решения задачи нужно
упрощённое описание мира, где какие-то объекты вообще выбрасываются из рассмотрения, у прочих выбираются лишь определённые свойства и связи.
Это и называется модель. Есть математические, физические модели. Ну ещё ряд других, но эти ближе всего друг к другу и к тому, что нам нужно.
Теперь более или менее можно понять, как на практике происходит построение модели (в фоновом режиме).
Я поясню на примере, так будет просто короче.
Скажем, задача про туристов, которые идут в гору, а потом спускаются с горы.
На первом шаге отсеиваются объекты, которые нам реально нужны. Гора нас не интересует - выбросили гору. Облака какие-то по небу плывут - не нужны, их тоже выбросили. Теперь на небе ярко светит солнышко - и его выкинули. Небо - туда же. В конечном итоге остаются только туристы. Кстати, все они нам тоже не нужны, можно оставить одного лидера группы.
На втором шаге отбрасываются ненужные процессы. Турист идёт, он устаёт. Идёт то быстрее, то медленнее. Выбросили усталость. Пусть идёт ровно. Но придётся оставить подъём и спуск. И то, раз уж мы выбросили гору, придётся заменить эти два процесса на другие, более примитивные - простое линейное движение (просто параметры движения разные), к тому же равномерное. Кстати, туристы в реальном мире могли сделать привал на вершине, этот процесс выбрасываем, и тогда получится, что движения шли подряд одно за другим.
На третьем шаге выбрасываются "избыточные" свойства туриста и процессов. Его рост, длина шага, возраст, семейное положение - это всё не важно. Вес тоже избыточный. Нам даже не важно, есть у него ноги или нет. На решение этой задачи количество ног не повлияет. Вообще все параметры туриста можно выбросить. Как мы выбросили гору с её перепадом высот. Движения, которые совершает турист, обладают массой характеристик, но они нам не нужны. Оставляем только три - скорость, время и расстояние. И раз уж у нас получились движения одно за другим, возьмём общее время, общее расстояние и среднюю скорость.
И на последнем этапе будут отбрасываться лишние связи между объектами, процессами и свойствами. Я сейчас скажу лишь о связях, которые можно выразить математически, но нужно понимать, что есть и другие (это чуть сложнее). Ну, например, точно останется, что общее расстояние складывается из расстояния "в гору", и "с горы" (в кавычках, потому что уже никакой горы нет), а соотношение для потенциальной энергии нам никак не сыграет (мы же выбросили перепад высот и массу наших туристов)
В итоге у нас остаётся сферический турист в вакууме, который совершает два процесса - равномерное движение по прямой. И есть несколько 9 параметров этих процессов.
Вот так примерно строится модель задачи.
Очень важно отметить, что мозг работает несколько сложнее, и не следует чёткому алгоритму. Более того, сталкиваясь с каким-то противоречием в своей модели, мозг может вернуться к уже пройденному шагу, немного подправить его, или вообще пойти по другому маршруту.
Чем опытнее мозг, тем больше шагов он знает заранее, тем проще ему проходить этот лабиринт, просто подставляя уже готовые решения. Вплоть до того, что эта работа становится совершенно автоматической, незаметной.
Тут некоторое педагогическое отступление:
Если ребёнка не учить специально строить модели, а давать ему их уже готовенькие, как бы из чёрного ящика, то у него будет два варианта развития.
1) он просто забьёт на развитие, и максимум что у него останется - это некоторая готовая коллекция моделей (сколько в памяти укрепятся). Этот вариант довольно безобидный, его легко "починить"
2) попытается сам научиться строить модели, имея на руках лишь внешние образцы готового результата. Он поищет закономерности, и, разумеется, найдёт (петерсониха же учит искать закономерности). Ну, например, если у нас в задаче есть слово "на меньше", то нужно будет оставить связь, которая в математике реализуется вычитанием. Но это мы понимаем теперь, что речь идёт о связи. А ребёнок - нет. Поэтому у него остаётся только реализация, то есть вычитание. И решать задачу "было 3 яблока, что на 5 меньше, чем груш, сколько было груш?" он тоже будет вычитанием. И хорошо, если получит -2. Шанс, что эти закономерности будут теми, что нужно, очень мал, но не нулевой, конечно.
Теперь о трудностях.
Модель в результате этих шагов может получиться красивая, стройная и непротиворечивая, но избыточная или неполная. Как понять, действительно ли нужны были эти свойства-объекты. Ведь я-то писал про уже решённую мною задачу, в которой я заранее знал, что нужно отбрасывать, что нужно упрощать, заменяя более примитивным, а что - нет.
Так вот, понять это можно только перебором вариантов, как я говорил в статье о лабиринтах. Этот процесс перебора очень трудоёмкий (многие мои читатели даже примерно не представляют себе, на сколько). Конечно, его можно слегка облегчить, например, разбив на части, и составлять модель из уже готовых сегментов, и/или использовать методы типа бисекции. Но нам совсем не обязательно делать это специально, нарочно. У нас есть очень мощный инструмент, который можно настроить так, чтобы весь этот процесс происходил за доли секунды в фоновом режиме. Это наш мозг.
Для любого перебора варианта обязателен критерий "тупика" (когда нужно возвращаться к истокам и менять модель) и критерий "выхода" (когда модель достаточно адекватна, и можно закончить).
Так вот, критерий "тупика" тут довольно прост - задача не решается, не получается по оставшимся связям и свойствам однозначно сформулировать ответ на вопрос в задаче. Это означает, что мы неправильно построили модель, и, например, зря выбросили время, которое потратил пешеход.
А вот критерий выхода - немного трудней. Он может быть и ложным (например, мы выбросили различие скоростей на двух этапах движения туристов, и получили среднюю скорость). И вот нам нужно найти этот критерий.
И вот тут мы утыкаемся в очень сложную проблему не только педагогики, но и философии вообще! Как понять, правильный мы сделали выбор, или нет?
К сожалению, нет единого чёткого ответа на этот вопрос. Но в школе мы проходим не жизненную, а некую стерильную математику в вакууме, поэтому тут можно более или менее формализовать критерии истины.
Есть такой полуофициальный критерий - если мы смогли ответить на вопрос, используя все данные из текста задачи и только их, значит, задача решена верно.
Он довольно адекватен для малышей, и его можно использовать вначале, но в дальнейшем оказывается ошибочным. И против него как раз и работают задачи с "избыточными" данными. Видите, чем они плохи: они разрушают критерий, но не дают нового взамен. Задачи же с "недостаточными" данными вообще работают против математики - адекватная модель гарантированно не подойдёт (а если ребёнок не уверен в адекватности модели, что естественно, то посчитает свою модель неправильной).
Вообще, методика обучения сейчас построена так, чтобы дать ребёнку готовую модель, заставить его выучить (применяя на разных задачах), а потом подсунуть задачу, в которой эта модель не сработает. И либо дать новую модель (провоцирует 1 вариант развития), либо не давать никакой модели, чтобы ребёнок "вынуждено научился" строить модели (провоцирует 2 вариант развития).
В принципе, не всё так страшно. Есть порядка 4% школьников, которые научаются так или иначе строить адекватные модели к задачам на математике и физике. Они как-то научили свой мозг перебирать все модели, и выбирать из них наиболее адекватные. Выработали критерии адекватности - пусть и не всегда точные.
Есть разные методики, более или менее эффективные, которые можно использовать и для более массового обучения построению моделей. Просто этим нужно заниматься целенаправленно, а не пускать на самотёк. И уж конечно, нужно понимать, в какой момент у опытного решальщика задач происходит это самое моделирование.
