Методика по просьбам трудящихся.
Я уже писал о "вопросной" системе решения текстовых задач. Суть её в том, что для решения задачи нужно выписывать вопросы, которые начинаются со слова "сколько...?", вне зависимости от того, знаем мы ответ на них или нет. Каждый такой вопрос образует одну величину в задаче, поэтому для более старших детей можно заменять некоторые вопросы на названия величин. Например вопрос "сколько километров проезжает машина за каждый час?" неплохо заменяется на величину "скорость машины".
Эта система оказывается настолько мощной, что позволяет решить практически любую текстовую задачу. В том числе, задачи, требующие составления уравнений.
В качестве примера и основы статьи я возьму классическую задачу для третьего класса про велосипеды.
В Детском Мире продавали двухколесные трехколесные велосипеды. Максим пересчитал все велосипеды и все колеса, получилось 12 велосипедов и 27 колес. Сколько трехколесных велосипедов продавали в Детском мире?
Составим список вопросов для этой ситуации. Кроме того, на каждый вопрос постараемся дать ответ. Я не буду сейчас увлекаться объяснением, как из текста извлечь значения величин, и как понять, какие вопросы должно задавать (это слишком долго).
У меня получился такой список.
Остались 4 пустые ячейки, в которые мы не можем вписать ответы - их нет в тексте, и нельзя вычислить из имеющихся.
В этом месте начинается подбор. Он в таких задачах есть всегда, просто иногда это неявный подбор в виде уравнения. Учителю в этой ситуации рекомендуется задать вопрос: "а если бы ты знал ответ на один из этих вопросов, смог бы ответить на все остальные?"
Обычно ученик отвечает утвердительно и даже указывает на вопрос, но если нет, то можно и натолкнуть - предложить свой "например".
Первый раз подбор всегда надо осуществлять явно, поэтому учитель предлагает написать карандашом в качестве ответа "любое" число. Важно следить, чтобы это число на совпало с ответом (такое часто бывает при переучивании старшеклассников, поэтому для них нужно подбирать задачи позаковыристее, но не в плане сложного уравнения, а такие, чтобы решить было легко, но чтобы или выбор "икса" был неочевиден, или числа "напрашивались" бы неправильные).
И исходя из этого "карандашного" числа вычислить ответы на все остальные вопросы.
Так как учитель проследил, что число неправильное, в какой-то момент ребенок столкнется с противоречием в задаче. Не всегда это противоречие видно сразу, иногда приходится на него намекнуть (поэтому для первых раз нужно выбирать задачи с легко обнаруживаемыми противоречиями).
Сейчас на примере покажу, и будет ясно, что я имею в виду.
Скажем, ребенок решил, что ему поможет ответ на вопрос номер 2 - "сколько двухколёсных велосипедов?". Он отвечает на него, допустим, числом 3. Тогда он легко вычисляет, что трёхколёсных велосипедов будет 12-3=9, колёс у двухколёсных будет 3*2=6 штук, колёс у трёхколёсных будет 9*3=27 штук. Эти все вычисления записываются в список карандашом:
Я специально выбрал в качестве нулевого приближения число 3, чтобы противоречие было очевидным: если мы сложим все получившиеся колёса, то будет явно больше 27. Но ребёнок может и не заметить этого сразу. Можно сказать, что противоречие есть и предложить поискать его - довольно быстро найдёт. А то и прямо показать.
Карандашные числа стираются, и пишутся по новой. Через пару итераций выясняется, что противоречия нет, только если в качестве ответа на 2й вопрос взять число 9 (12-9=3, 9*2=18, 3*3=9, 18+9=27)
В принципе, задача решена, на этом надо бы заканчивать. Но мы разбираем решение задач через уравнения. Поэтому.
Что брать за икс?
За "икс" берём то число, которое мы подбирали (а не то, что спрашивается в задаче). И после этого ответ на каждый вопрос записываем выражением:
Это оказывается довольно легко для 7-8 класса, а в младших и не требуется.
А вот что трудно - это из этих выражений составить уравнение. Можно спросить ученика "как ты понял, что три не подходит, а девять подойдёт?" Ну, и если уж не может сказать, то помочь - если брать три, то сумма ответов на 6й и 7й вопросы не будет равна 27, а если взять 9, то сумма ответов на 6й и 7й вопросы будет равна 27. Тут хотя бы у одного из собеседников предполагается умение записывать фразу математической записью.
x*2+(12-x)*3=27
То есть, вот это противоречие, которое мы искали вначале, оно же является критерием подбора, и оно же является фактом, на который составляется уравнение. Это и есть ключевой момент. И пока ученик не может видеть эти противоречия - у него не получится составить уравнение к задаче иначе, как по ключевым словам.