Посмотрите в живую или на видеозаписи как преподаватели ищут решение полностью незнакомой задачи.
В их речи обычно проскальзывают обороты:
«Давайте попробуем сделать вот так....»;
«Что нам хотелось бы сделать в этой задаче?»;
«Посмотрим, какие разумные шаги тут возможны»;
«Что здесь уместно попробовать?»
«Вот этот ход действительно логичный...»
Обратите внимание, что никто из них не лезет в джунгли произвольных преобразований.
Решатели всегда сначала пытаются пройтись по уже знакомым тропинкам.
И обычно эти дорожки общеизвестны.
Но что это за такие разумные шаги? Почему одни ходы называются логичными, а другие нет?
Тем, кто умеет решать задачи, многие действия по ходу решения кажутся очевидными и само собой разумеющимися. Тот, кто не знаком с темой, может посчитать рассуждения решающего лишь маханием рук и магией, недоступной другим людям.
Чтобы подробнее поговорить про это явление, давайте начнём с конкретных примеров.
1) Решите уравнения:
(x²+3x+1)(x²+3x-3)=0
(x²+3x+1)(x²+3x+3)+1=0
(x²-x+1)(x²+2x+2)+1=0
(x²-x+1)(x²+3x-3)-1=0
(x²+x-1)(x²+3x-1)+x²=0
Стороннему наблюдателю может показаться, что различия в задачах минимальны. Слева скобки с похожими квадратными трёхчленами, справа ноль.
Однако, все они решаются принципиально разными способами.
Самый популярный метод решения у школьников можно сформулировать так: «ввязаться в бой, а там посмотрим».
То есть можно попробовать раскрыть скобки. Авось что получится.
Более осторожный школьник сразу заметит, что во всех пяти случаях получается уравнение четвёртой степени.
В обычной школьной программе четвёртая степень возникает только в биквадратных уравнениях. То есть мы надеемся, что после преобразований останутся только чётные степени.
Перемножение трёхчленов – это довольно громоздкое преобразование. Разумно отложить его и попытаться использовать другие техники.
Довольно быстро можно заметить, что уравнение (x²+3x+1)(x²+3x-3)=0 распадается на два.
Здесь работает шаблон (...)(...)=0.
Он работает настолько часто и настолько привычен, что раскрытие скобок, наоборот, будет слишком неразумным шагом.
В уравнении (x²+3x+1)(x²+3x+3)+1=0 нужно разглядеть повторяющийся кусок x²+3x.
Это вообще важный навык – уметь видеть где-то одинаковость.
Можно сделать замену t=x²+3x. Кто похитрее, обозначает t=x²+3x+1. Самые продвинутые видят в трёхчленах свободные члены 1 и 3, берут их полусумму и делают замену t=x²+3x+2. Так задача решается чуть ли не устно. Но, правда, нужен опыт, чтобы сделать эту последнюю самую элегантную замену.
В уравнении (x²-x+1)(x²+2x+2)+1=0 разумно вообще ничего не делать.
Нужно просто кое-что знать про трёхчлены в скобках.
Выражение x²+2x+2 чуть больше известного полного квадрата x²+2x+1.
Про x²-x+1 нужно знать, что это строго положительное выражение.
Отсюда произведение в скобках положительное, да ещё +1, получаем положительное число, которое не может быть равно нулю.
Решения нет.
(x²-x+1)(x²+3x-3)-1=0
В этом уравнении нет ничего интересного.
Кажется, всё-таки придётся раскрывать скобки.
Но прежде желательно сделать некоторые предварительные действия.
Нужно попробовать подумать наперёд.
Вдруг, если мы раскроем скобки, исчезнут неприятные старшие члены.
Или раскроем скобки и уйдёт свободный коэффициент. Это будет означать, что 0 точно является решением.
Тогда раскрытие скобок становится весьма разумным шагом.
Или можно попробовать найти корень.
Попытка найти сразу какие-нибудь корни всегда разумна. Обычно подставляют 0, ±1, ±2. Причём подставлять лучше в самую удобную конструкцию. То есть лучше это делать, не раскрывая скобки.
Здесь решением является единица.
А когда один корень у вас уже в кармане, то и скобки раскрывать сподручнее.
Вы точно сможете потом разделить многочлен на x-1.
(x²+x-1)(x²+3x-1)+x²=0
Для решения этого уравнения нужен некоторый опыт в углубленной математике.
Здесь есть определённый маркер (см. предыдущую статью «Маркеры и индикаторы»): в скобках есть повторяющаяся конструкция x²-1.
Она вроде не совсем удобна для замены (ещё в скобках есть лишние +x и +3x). Но за скобками притаился x². И это неспроста.
Если мы разделим уравнение на x²≠0, то получим:
(x+1-1/x)(x+3-1/x)+1=0
А здесь уже видна замена x-1/x=t.
Несмотря на схожесть, для каждого уравнения по факту были свои разумные шаги, поэтому нельзя сказать, какие из них были более приоритетными. Всё зависит от исходной задачи.
2) Следующая задача была опубликована в №10 Квант, 2022:
«Решить в натуральных числах уравнение x²+y²+1=6xy».
Авторское решение такое: сначала доказать, что если пара (x₀;y₀) является решением, то и пара (6y₀-x₀;y₀) тоже будет решением; а потом спуститься и заметить, что решений нет.
Однако, это наблюдение, кажется, довольно сложно заметить.
И прежде всего нужно прощупать задачу элементарными техническими методами. Не нужно гнаться за экзотикой или неочевидной элегантностью.
Сперва разглядим симметрию.
То есть если пара (x₀;y₀) является решением, то и пара (y₀;x₀) тоже является решением. Это значит, что можно попробовать сделать стандартную замену для таких случаев x+y=a, xy=b.
Но получившееся после замены уравнение тупиковое. Смотрим дальше.
Наше уравнение – уравнение второй степени как относительно икса, так и относительно y.
Разумно решить его относительно одной из неизвестных.
Обычно в таких случая либо с помощью небольшой подкрутки удаётся разложить на множители, либо удаётся получить какие-то интересные условия на неизвестную через дискриминант.
Давайте решим уравнение относительно x:
x²+y²+1=6xy
x²-6y⋅x+y²+1=0
D/4=9y²-y²-1=8y²-1
Т.к. мы решаем уравнение в натуральных числах, то дискриминант обязан быть «красивым» (то есть точным квадратом).
Если он является точным квадратом, как алгебраическое выражение, то задача становится совсем простой. Корни ищем явно.
Если не является, то смотрим при каких значениях переменных дискриминант является точным квадратом как число.
То есть нам нужно понять, при каких у выражение 8y²-1 будет точным квадратом.
Мы знаем стандартные условия для остатков от деления квадратов чисел на 3,4 и 5.
Здесь напрашивается рассмотреть остаток от деления на 4 из-за удобного первого слагаемого.
8y² явно делится на 4, а -1 порождает остаток 3 при делении на 4.
А мы знаем, что при делении полных квадратов на 4 получаются лишь остатки 0 или 1. Противоречие.
Тем, кто не знаком с методами решения уравнений в целых числах, оба решения могут показаться сложными.
Но во втором мы делаем такие преобразования, которые действительно являются разумными.
Для разных типов задач есть свой ограниченный набор стандартных приёмов.
Выше я взял пару базовых идей для уравнений с целыми числами и пришёл к противоречию.
3) Задача из сборника «Математика-абитуриенту» (Ткачук В.В.). Это главный сборник для подготовки к ДВИ МГУ. У задачи самый высокий, третий, уровень сложности.
Решите уравнение: 6tgx+5ctg3x=tg2x.
Первый, самый важный и самый разумный, шаг – разбить первое слагаемое: 6tgx = 5tgx+tgx.
Теперь наше уравнение стало таким: 5tgx+5ctg3x+tgx-tg2x=0.
Кстати, можно попробовать и другое разбиение: 5ctg3x = 6ctg3x-ctg3x
Тогда наше уравнение станет: 6tgx+6ctg3x-ctg3x-tg2x=0.
Но почему именно такие разбиения? И почему они вообще являются чуть ли не единственно уместными подходами к решению?
На самом деле, что бы делать какие-то шаги, нам следует заранее понимать, за какой конечный результат мы боремся. Редкие действия мы делаем вслепую в надежде на что-то случайно-красивое.
Для этой задачи нужно чётко понимать, что выражения ctgα±ctgβ, tgα±tgβ, tgα±ctgβ очень удобно преобразуются (убедитесь сами!). Поэтому такие разбиения и будут давать нам нужные группировки.
4) Параметрическое уравнение с олимпиады «Ломоносов» 2019 года:
Сколько существует значений параметра a, при которых уравнение 4a² + 3xlgx + 3lg²x = 13algx + ax имеет единственное решение?
Когда в задаче громоздкая конструкция, то большой шанс, что она распадётся на множители.
В явном виде их попарно сгруппировать не получится – у нас пять слагаемых. Значит, скорее всего нужно какое-то слагаемое разбить на два и группировать парами.
Однако, без системного взгляда на задачу, даже выбрав такой подход, мы будем вынуждены играть в рулетку. Какое именно слагаемое разбивать? На какие слагаемые?
Вариантов масса.
А в ответах к задаче решение наверняка начинается со слов «заметим, что...».
Давайте просто делать в задаче что-то разумное.
Уместно lgx переобозначить как y.
У нас, конечно, станет больше неизвестных, но в этой задаче множители x и lgx довольно независимы, поэтому это скорее поможет нам в решении. И уж точно упростит конструкцию.
После переносов влево это будет выглядеть так:
4a² + 3xy + 3y² - 13ay - ax = 0
А дальше уже включается опыт решателя: на сколько он хорошо работает с однородными квадратичными формами.
Если он знает, как раскладываются квадратичные формы вроде А²+АВ-2В², то он разглядит решение.
У нас есть единственный кусочек, который содержит квадраты двух неизвестных и их произведение: 4a² - 13ay + 3y².
Вот и его надо пробовать разложить на множители.
Кто-то сразу догадается разбить -13ay на -12ay и -ay.
Я, кстати, сравнительно недавно научился грамотно это делать. Правильную технику подглядел в Кембриджском учебнике математики Cambridge IGCST International Mathematics, по которой мы идём с моим учеником.
Но обычно я всё же предпочитаю такие трёхчлены раскладывать через решение КУ относительно одной из неизвестных. Так надёжнее.
4a² - 13ay + 3y² + 3xy - ax = 0
(4a - y)(a-3y) + 3xy - ax = 0
Далее раскладываем и оставшиеся слагаемые.
(4a - y)(a-3y) - х(а-3y) = 0
(4a - y - х)(a-3y) = 0
Далее уравнение распалось на два. Делаем обратную замену и решаем дальше.
5) Система уравнений из той же олимпиады «Ломоносов»-2019:
2^(x+2y)+2^x=3⋅2^y
2^(2x+y)+2⋅2^y=4⋅2^x
В этой системе разумно заменить сумму степеней для показательной функции на произведение показательных функций.
2^x⋅2^2y+2^x=3⋅2^y
2^2x⋅2^y+2⋅2^y=4⋅2^x
А далее делаем замену 2^x = a, 2^y = b, что всегда является разумным шагом.
аb²+a=3b
a²b+2b=4a
Ну а дальше используем техники решения уже алгебраических систем...
Есть такие разумные шаги, не сделать которые является преступлением – настолько они общепризнанны.
В этом примере мы как раз такие использовали. Они доступны школьникам, начиная уже с Технического уровня.
6) Делится ли выражение 2⁶²+1 на 2³¹+2¹⁶+1?
Главная идея: 2¹⁵=а.
Почему это здравая идея и среди каких конкурентов мы её выбирали?
На самом деле это стандартная история в такого рода задачах – попробовать какие-то громоздкие числовые выражения заменить буквенными. Так арифметическая задача превращается в алгебраическую. А там уже включается делимость и разложение на множители.
Дальше нужно заметить, что два первых показателя степени (62 и 31) отличаются в два раза, а два последних почти в два раза (31 и 16). Можно взять самую маленькую степень 16 за неизвестную и через неё выразить остальные. Но там появляются дроби (а дроби – зло!).
Довольно быстро можно понять, что удобнее взять степень 15 и переобозначить 2¹⁵=а.
Тем самым задача упростилась. Она свелась к тому, чтобы выяснить, делится ли 4a⁴+1 на 2a²+2a+1.
А это уже стандартная задача. Нужно дополнить исходное выражение до полного квадрата и вычесть, таким образом получив разность квадратов.
7) Задача из пособия «Сборник олимпиадных задач по математике» (Н.В.Горбачёв):
Решите уравнение в целых числах: x³+y³=4(x²y+xy²+1)
Первая идея: сразу заметить симметрию. Если пара (x₀;y₀) является решением, то и пара (y₀;x₀) тоже является решением.
Стандартную замена: x+y=a, xy=b. В уравнении одну пару неизвестных мы заменили на другую.
Покажем, как сделать эту замену:
x³+y³=4(x²y+xy²+1)
(x+y)(x²-xy+y²)=4(xy(x+y)+1)
(x+y)((x+y)²-3xy)=4(xy(x+y)+1)
После замены уравнение превращается в такое:
a(а²-3b)=4(ba+1)
а³-3ab=4ab+4
а³=7ab+4
Ну далее нужно просто знать как ведут себя кубы чисел при делении на 7.
Обратите внимание, как легко решилась задача после наистандартнейшего первого шага.
После изучения этих решений можно задаться вопросом: а есть ли какие-то универсальные разумные шаги, которые достаточно просто заранее выучить?
И да, и нет.
С одной стороны замена переменной, разложение на множители, оценка и пр. являются такими разумными шагами. Но в отрыве от конкретных задач они бессмысленны. И даже их иллюстрация на нескольких единичных примерах ничего не даёт.
Здесь скорее разговор про передачу навыка решения задач. Ученик должен повторять за учителем, обсуждать с ним решение, проговаривать вот такие тонкие моменты, заходить в тупиковые решения и выползать из них.
Большинство же преподавателей ограничиваются пересказом решения без пояснения вот таких вроде бы самых очевидных и разумных шагов.
И ещё важно донести до учеников, что при решении мы не использовали никакой «математической интуиции».
Точнее она, конечно, была. Но она не была дана свыше в виде какого-то таланта.
Всё, что мы делали в статье – это результат практики. Нужно просто решать много разнотипных задач и осознавать, какие шаги и зачем мы делаем.
